===== 553. Разложение многочлена по степеням x (сдвиг аргумента) =====

==== Условие задачи ====
Посредством схемы Горнера разложить по степеням $x$:

a) $f(x+3)$, где $f(x)=x^4-x^3+1$;

b) $(x-2)^4+4(x-2)^3+6(x-2)^2+10(x-2)+20$.

==== Решение ====

**а)** Нужно разложить $f(y)$ по степеням $(y-3)$, положив затем $x=y-3$. Коэффициенты $f$: $[1,-1,0,0,1]$, $x_0=3$:
$$[1,-1,0,0,1]\to r=55,\ [1,2,6,18]\to r=81,\ [1,5,21]\to r=45,\ [1,8]\to r=11,\ [1].$$
Значит $f(y)=(y-3)^4+11(y-3)^3+45(y-3)^2+81(y-3)+55$, и подставляя $y-3=x$:
$$f(x+3)=x^4+11x^3+45x^2+81x+55.$$
(Проверка: $(x+3)^4-(x+3)^3+1=x^4+11x^3+45x^2+81x+55$.)

**b)** Здесь достаточно раскрыть скобки по биному Ньютона:
$$(x-2)^4=x^4-8x^3+24x^2-32x+16,$$
$$4(x-2)^3=4x^3-24x^2+48x-32,$$
$$6(x-2)^2=6x^2-24x+24,$$
$$10(x-2)=10x-20.$$
Складывая с $+20$:
$$x^4+(-8+4)x^3+(24-24+6)x^2+(-32+48-24+10)x+(16-32+24-20+20)=x^4-4x^3+6x^2+2x+8.$$

==== Ответ ====
a) $x^4+11x^3+45x^2+81x+55$;

b) $x^4-4x^3+6x^2+2x+8$.