===== 549. Деление многочленов с остатком =====

==== Условие задачи ====
Выполнить деление с остатком:

a) $x^4-2x^3+4x^2-6x+8$ на $x-1$;

b) $2x^5-5x^3-8x$ на $x+3$;

c) $4x^3+x^2$ на $x+1+i$;

d) $x^3-x^2-x$ на $x-1+2i$.

==== Решение ====
Во всех пунктах делитель линеен, $x-x_0$, поэтому удобно применить схему Горнера: если $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n$, то коэффициенты частного $b_0,b_1,\dots$ и остаток $r$ находятся по правилу $b_0=a_0$, $b_k=a_k+b_{k-1}x_0$, а $r$ — последнее такое значение.

**а)** $x_0=1$, коэффициенты $1,-2,4,-6,8$:
$$b_0=1,\ b_1=-2+1=-1,\ b_2=4-1=3,\ b_3=-6+3=-3,\ r=8-3=5.$$
$$x^4-2x^3+4x^2-6x+8=(x-1)(x^3-x^2+3x-3)+5.$$

**b)** Делитель $x+3=x-(-3)$, $x_0=-3$; многочлен $2x^5+0x^4-5x^3+0x^2-8x+0$:
$$b_0=2,\ b_1=0-6=-6,\ b_2=-5+18=13,\ b_3=0-39=-39,\ b_4=-8+117=109,\ r=0-327=-327.$$
$$2x^5-5x^3-8x=(x+3)(2x^4-6x^3+13x^2-39x+109)-327.$$
(Проверка: $f(-3)=2(-3)^5-5(-3)^3-8(-3)=-486+135+24=-327$.)

**c)** Делитель $x+1+i=x-(-1-i)$, $x_0=-1-i$; коэффициенты $4,1,0,0$:
$$b_0=4,\quad b_1=1+4x_0=1+4(-1-i)=-3-4i,$$
$$b_2=0+b_1x_0=(-3-4i)(-1-i)=-1+7i,$$
$$r=0+b_2x_0=(-1+7i)(-1-i)=8-6i.$$
$$4x^3+x^2=(x+1+i)\bigl(4x^2-(3+4i)x+(-1+7i)\bigr)+(8-6i).$$

**d)** Делитель $x-1+2i=x-(1-2i)$, $x_0=1-2i$; коэффициенты $1,-1,-1,0$:
$$b_0=1,\quad b_1=-1+x_0=-2i,$$
$$b_2=-1+b_1x_0=-1+(-2i)(1-2i)=-5-2i,$$
$$r=0+b_2x_0=(-5-2i)(1-2i)=-9+8i.$$
$$x^3-x^2-x=(x-1+2i)\bigl(x^2-2ix+(-5-2i)\bigr)+(-9+8i).$$

==== Ответ ====
a) частное $x^3-x^2+3x-3$, остаток $5$;

b) частное $2x^4-6x^3+13x^2-39x+109$, остаток $-327$;

c) частное $4x^2-(3+4i)x+(-1+7i)$, остаток $8-6i$;

d) частное $x^2-2ix-5-2i$, остаток $-9+8i$.