==== 518.==== 
Написать уравнения биссектрисы тупого угла между прямой 
$$\left\{ \begin{array}{c}
x-2y-5=0\\
y-4z+14=0
\end{array}\right.$$
и её ортогональной проекцией на плоскость $x+y+1=0.$ Система координат прямоугольная.

-----

Строим вектор 
$$\begin{vmatrix}i & j & k\\
1 & -2 & 0\\
0 & 1 & -4
\end{vmatrix}=\left(8,4,1\right)=\vec{a},$$ определяющий прямую проходящую через точку $\left(5,0,\frac{7}{2}\right)$.

Нормаль к плоскости $\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1,1,0\right)$,
тогда ортогональная проекция на плоскость 

$\vec{d}=\vec{a}-\vec{n}\left(\vec{n},\vec{a}\right)=\left(8,4,1\right)-\frac{8+4}{2}\left(1,1,0\right)=\left(8,4,1\right)-6\left(1,1,0\right)=\left(2,-2,1\right)$

Находим направляющий вектор для биссектрисы 

$\vec{c}=\frac{\vec{d}}{d}-\frac{\vec{a}}{a}=\frac{\left(2,-2,1\right)}{3}-\frac{1}{\sqrt{64+16+1}}\left(8,4,1\right)=\frac{\left(-2,-10,2\right)}{9}$.

Биссектриса проходит через точку пересечения прямой и плоскости, а
значит принадлежит им обоим:

$$\left\{ \begin{array}{c}
x-2y-5=0\\
y-4z+14=0\\
x+y+1=0
\end{array}\right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{c}
3y+6=0\\
y-4z+14=0\\
x+y+1=0
\end{array}\right.\Rightarrow\left(1,-2,3\right)=\vec{r}_{0}$$

следовательно биссектриса в параметрическом виде 
$\vec{r}=\vec{r}_{0}+u\vec{c}$
запишется через свои координаты:
$x=1-u,y=-2-5u,z=3+u$.

-----