===== Уравнение прямой, пересекающей две данные прямые и параллельной третьей =====

==== Условие задачи ====
Даны три прямые:
\[
L_1:\; x = 3 + t,\; y = -1 + 2t,\; z = 4t;
\]
\[
L_2:\; x = -2 + 3t,\; y = -1,\; z = 4 - t;
\]
\[
L_3:\; \begin{cases} x - 3y + z = 0, \\ x + y - z + 4 = 0. \end{cases}
\]
Написать уравнения прямой, пересекающей первые две из данных прямых и параллельной третьей прямой. Система координат аффинная.

==== Решение ====

=== 1. Направляющий вектор третьей прямой ===
Прямая \(L_3\) задана как линия пересечения двух плоскостей. Её направляющий вектор \(\mathbf{s}_3\) ортогонален нормалям обеих плоскостей:
\[
\mathbf{n}_1 = (1, -3, 1),\quad \mathbf{n}_2 = (1, 1, -1).
\]
Находим векторное произведение:
\[
\mathbf{s}_3 = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2
= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & -3 & 1 \\
1 & 1 & -1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}\bigl((-3)\cdot(-1) - 1\cdot 1\bigr) - \mathbf{j}\bigl(1\cdot(-1) - 1\cdot 1\bigr) + \mathbf{k}\bigl(1\cdot 1 - (-3)\cdot 1\bigr)
\]
\[
= \mathbf{i}(3 - 1) - \mathbf{j}(-1 - 1) + \mathbf{k}(1 + 3) = (2, 2, 4) = 2\cdot(1, 1, 2).
\]
Можно взять \(\mathbf{s}_3 = (1, 1, 2)\). Искомая прямая параллельна \(L_3\), поэтому её направляющий вектор коллинеарен \(\mathbf{s}_3\). Примем \(\mathbf{s} = (1, 1, 2)\).

=== 2. Точки пересечения искомой прямой с \(L_1\) и \(L_2\) ===
Пусть искомая прямая пересекает \(L_1\) в точке \(P_1\) (параметр \(t_1\)), а \(L_2\) в точке \(P_2\) (параметр \(t_2\)). Координаты:
\[
P_1 = (3 + t_1,\; -1 + 2t_1,\; 4t_1),\qquad
P_2 = (-2 + 3t_2,\; -1,\; 4 - t_2).
\]
Вектор \(\overrightarrow{P_1P_2}\) должен быть коллинеарен \(\mathbf{s}=(1,1,2)\):
\[
\overrightarrow{P_1P_2} = \bigl( -2 + 3t_2 - (3 + t_1),\; -1 - (-1 + 2t_1),\; 4 - t_2 - 4t_1 \bigr)
= \bigl( -5 + 3t_2 - t_1,\; -2t_1,\; 4 - t_2 - 4t_1 \bigr).
\]
Условие коллинеарности:
\[
\frac{-5 + 3t_2 - t_1}{1} = \frac{-2t_1}{1} = \frac{4 - t_2 - 4t_1}{2}.
\]
Получаем систему:
\[
\begin{cases}
-5 + 3t_2 - t_1 = -2t_1,\\
-2t_1 = \dfrac{4 - t_2 - 4t_1}{2}.
\end{cases}
\]
Преобразуем:
\[
(1)\; -5 + 3t_2 - t_1 = -2t_1 \;\Rightarrow\; -5 + 3t_2 + t_1 = 0 \;\Rightarrow\; t_1 + 3t_2 = 5.
\]
\[
(2)\; -4t_1 = 4 - t_2 - 4t_1 \;\Rightarrow\; 0 = 4 - t_2 \;\Rightarrow\; t_2 = 4.
\]
Подставляем \(t_2 = 4\) в (1):
\[
t_1 + 3\cdot 4 = 5 \;\Rightarrow\; t_1 = 5 - 12 = -7.
\]

=== 3. Координаты точек \(P_1\) и \(P_2\) ===
\[
P_1 = (3 - 7,\; -1 + 2\cdot(-7),\; 4\cdot(-7)) = (-4,\; -15,\; -28),
\]
\[
P_2 = (-2 + 3\cdot 4,\; -1,\; 4 - 4) = (10,\; -1,\; 0).
\]
Проверим направляющий вектор:
\[
\overrightarrow{P_1P_2} = (10 - (-4),\; -1 - (-15),\; 0 - (-28)) = (14,\; 14,\; 28) = 14\cdot(1, 1, 2),
\]
что действительно коллинеарно \(\mathbf{s}=(1,1,2)\).

=== 4. Уравнение искомой прямой ===
Используем точку \(P_1\) и направляющий вектор \(\mathbf{s}\).
Параметрические уравнения:
\[
\begin{cases}
x = -4 + u,\\
y = -15 + u,\\
z = -28 + 2u,
\end{cases}\quad u \in \mathbb{R}.
\]
Канонические уравнения:
\[
\frac{x + 4}{1} = \frac{y + 15}{1} = \frac{z + 28}{2}.
\]

==== Ответ ====
Уравнения искомой прямой:
\[
\boxed{\frac{x + 4}{1} = \frac{y + 15}{1} = \frac{z + 28}{2}}
\]
или в параметрическом виде:
\[
\boxed{\begin{cases}
x = -4 + u,\\
y = -15 + u,\\
z = -28 + 2u,
\end{cases}\quad u \in \mathbb{R}}.