===== Условие =====

46.5. а) Пусть \( w \) — ненулевой вектор евклидова (эрмитова) пространства. Для любого вектора \( x \) положим

\[
U_w(x) = x - 2 \frac{(x, w)}{(w, w)} w.
\]

Доказать, что \( U_w(w) = -w \) и \( U_w(y) = y \), если \( y \in \langle w \rangle^\perp \).

===== Решение =====

==== Вычисление \( U_w(w) \) ====

Подставим \( x = w \) в определение:

\[
U_w(w) = w - 2 \frac{(w, w)}{(w, w)} w = w - 2w = -w.
\]

==== Вычисление \( U_w(y) \) для \( y \perp w \) ====

Если \( y \in \langle w \rangle^\perp \), то \( (y, w) = 0 \). Тогда

\[
U_w(y) = y - 2 \frac{0}{(w, w)} w = y - 0 = y.
\]

Таким образом, \( U_w \) отражает вектор \( w \) (меняет знак) и оставляет неподвижными все векторы, ортогональные \( w \).