## Условие задачи (43.46)

В пространстве \( L \) непрерывных функций на отрезке \([-\pi, \pi]\) со скалярным произведением  
\[
(f, g) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)g(t)\,dt
\]  
найти проекцию функции \( t^m \) на подпространство  
\[
V = \{1, \cos t, \sin t, \ldots, \cos nt, \sin nt\}.
\]

---

## Решение

Подпространство \( V \) – это пространство тригонометрических полиномов степени не выше \( n \).  
Скалярное произведение задано с нормировкой \( \frac{1}{\pi} \), что делает стандартные тригонометрические функции ортогональными и нормированными (кроме константы).

### 1. Ортонормированный базис в \( V \)

Проверим ортогональность на \( [-\pi, \pi] \):

\[
\int_{-\pi}^{\pi} \cos kt \cos lt \, dt = \pi \delta_{kl},\quad
\int_{-\pi}^{\pi} \sin kt \sin lt \, dt = \pi \delta_{kl},\quad
\int_{-\pi}^{\pi} \cos kt \sin lt \, dt = 0,
\]
\[
\int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot 1 \, dt = 2\pi.
\]

Тогда  
\[
(\cos kt, \cos kt) = \frac{1}{\pi}\cdot \pi = 1,\quad
(\sin kt, \sin kt) = 1,\quad
(1,1) = \frac{1}{\pi}\cdot 2\pi = 2.
\]

Следовательно, функции  
\[
\varphi_0 = \frac{1}{\sqrt{2}},\quad
\varphi_k^c = \cos kt,\quad
\varphi_k^s = \sin kt \qquad (k=1,\dots,n)
\]  
образуют **ортонормированный** базис в \( V \).

### 2. Коэффициенты Фурье

Проекция функции \( f(t)=t^m \) на \( V \) равна  
\[
P_V f = (f,\varphi_0)\,\varphi_0 + \sum_{k=1}^{n}\bigl[(f,\cos kt)\cos kt + (f,\sin kt)\sin kt\bigr],
\]  
где  
\[
(f,\varphi_0) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^m \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\,dt = \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\int_{-\pi}^{\pi} t^m\,dt,
\]  
\[
(f,\cos kt) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^m \cos(kt)\,dt,
\]  
\[
(f,\sin kt) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^m \sin(kt)\,dt.
\]

Подставляя, получаем явное выражение для проекции:

\[
\boxed{P_V(t^m) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^m\,dt \;+\; \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^m\cos(kt)\,dt \right)\cos(kt) \;+\; \left( \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^m\sin(kt)\,dt \right)\sin(kt)}.
\]

### 3. Замечания о чётности

- Если \( m \) **нечётное**, то \( t^m \) – нечётная функция. Тогда  
\( \int_{-\pi}^{\pi} t^m dt = 0 \),  
\( \int_{-\pi}^{\pi} t^m \cos(kt) dt = 0 \) (произведение нечётной на чётную – нечётная),  
остаются только интегралы с синусом.  
В этом случае проекция содержит только синусы.

- Если \( m \) **чётное**, то \( t^m \) – чётная функция. Тогда  
\( \int_{-\pi}^{\pi} t^m \sin(kt) dt = 0 \),  
остаются постоянное слагаемое и косинусы.

Для конкретного \( m \) интегралы вычисляются явно (например, с помощью интегрирования по частям), но в общем виде ответ оставляют в форме, приведённой выше.