Ниже приведено условие задачи, а затем подробное решение.

---

## Условие задачи (43.36)

Вычислить объём \(n\)-мерного параллелепипеда со сторонами:

**a)**  
\( (1, -1, 1, -1),\quad (1, 1, 1, 1),\quad (1, 0, -1, 0),\quad (0, 1, 0, -1); \)

**б)**  
\( (1, 1, 1, 1),\quad (1, -1, -1, 1),\quad (2, 1, 1, 3),\quad (0, 1, -1, 0). \)

---

## Решение

Объём \(n\)-мерного параллелепипеда, натянутого на векторы \(v_1,\dots,v_n\) в евклидовом пространстве, равен квадратному корню из определителя Грама, но если векторы заданы координатами в ортонормированном базисе (и пространство \(\mathbb{R}^n\) со стандартным скалярным произведением), то объём равен абсолютной величине определителя матрицы, составленной из координат этих векторов (строки или столбцы).

В обоих пунктах даны 4 вектора в \(\mathbb{R}^4\), поэтому объём вычисляется как  
\[
V = |\det A|,
\]  
где \(A\) – матрица \(4\times 4\), строками которой являются данные векторы.

---

### a) Векторы:  

\[
v_1 = (1,\ -1,\ 1,\ -1),\quad
v_2 = (1,\ 1,\ 1,\ 1),\quad
v_3 = (1,\ 0,\ -1,\ 0),\quad
v_4 = (0,\ 1,\ 0,\ -1).
\]

Матрица \(A\):  
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1
\end{pmatrix}.
\]

Вычислим определитель. Выполним элементарные преобразования строк, не меняющие определитель (вычитание строк):

- Из второй строки вычтем первую: \(R_2 \leftarrow R_2 - R_1\);
- Из третьей строки вычтем первую: \(R_3 \leftarrow R_3 - R_1\).

Получим:  
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & -1\\
0 & 2 & 0 & 2\\
0 & 1 & -2 & 1\\
0 & 1 & 0 & -1
\end{pmatrix}.
\]

Разложим определитель по первому столбцу (единственный ненулевой элемент \(a_{11}=1\)):  
\[
\det A = 1 \cdot \det\begin{pmatrix}
2 & 0 & 2\\
1 & -2 & 1\\
1 & 0 & -1
\end{pmatrix}.
\]

Вычислим определитель матрицы \(3\times3\). Разложим по второму столбцу (в нём нули во второй и третьей строках):  
\[
\det\begin{pmatrix}
2 & 0 & 2\\
1 & -2 & 1\\
1 & 0 & -1
\end{pmatrix}
= (-2)\cdot(-1)^{2+2}\det\begin{pmatrix}2 & 2\\ 1 & -1\end{pmatrix}
= -2 \cdot \bigl(2\cdot(-1) - 2\cdot1\bigr)
= -2 \cdot (-2 - 2) = -2 \cdot (-4) = 8.
\]

Таким образом,  
\[
\det A = 1 \cdot 8 = 8,\qquad V = |\det A| = 8.
\]

**Ответ для пункта а):** \(8\).

---

### б) Векторы:  

\[
v_1 = (1,\ 1,\ 1,\ 1),\quad
v_2 = (1,\ -1,\ -1,\ 1),\quad
v_3 = (2,\ 1,\ 1,\ 3),\quad
v_4 = (0,\ 1,\ -1,\ 0).
\]

Матрица \(B\):  
\[
B = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & -1 & 1\\
2 & 1 & 1 & 3\\
0 & 1 & -1 & 0
\end{pmatrix}.
\]

Преобразуем строки:

- \(R_2 \leftarrow R_2 - R_1\): \( (0,\ -2,\ -2,\ 0)\);
- \(R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1\): \( (0,\ -1,\ -1,\ 1)\);
- \(R_4\) оставляем без изменений.

Получаем:  
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
0 & -2 & -2 & 0\\
0 & -1 & -1 & 1\\
0 & 1 & -1 & 0
\end{pmatrix}.
\]

Разложение по первому столбцу даёт:  
\[
\det B = 1 \cdot \det\begin{pmatrix}
-2 & -2 & 0\\
-1 & -1 & 1\\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}.
\]

Вычислим определитель \(3\times3\), разложив по третьему столбцу (элементы \(0,\ 1,\ 0\)):  
\[
\det\begin{pmatrix}
-2 & -2 & 0\\
-1 & -1 & 1\\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
= 1 \cdot (-1)^{2+3}\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\ 1 & -1\end{pmatrix}
= -1 \cdot \bigl((-2)\cdot(-1) - (-2)\cdot1\bigr)
= -1 \cdot (2 + 2) = -4.
\]

Следовательно,  
\[
\det B = 1 \cdot (-4) = -4,\qquad V = |\det B| = 4.
\]

**Ответ для пункта б):** \(4\).

---

### Итоговый ответ

а) \(8\); б) \(4\).