====== Задача 41.16 ======

**Условие.** В пространстве комплексных многочленов степени не выше 2 по \(x\) и \(y\) действует оператор \(\mathcal{A} : f(x, y) \mapsto f(x + 1, y + 1)\). Найти координатную форму оператора \(\mathcal{A}\).

**Решение.**  
Пространство многочленов степени \(\le 2\) от двух переменных имеет размерность 6. Выберем стандартный базис из одночленов, упорядоченный следующим образом:
\[
e_1 = 1,\quad e_2 = x,\quad e_3 = y,\quad e_4 = x^2,\quad e_5 = xy,\quad e_6 = y^2.
\]
Координатная форма линейного оператора — это его матрица в выбранном базисе. Найдём образы базисных векторов под действием \(\mathcal{A}\):
\[
\begin{aligned}
\mathcal{A}(e_1) &= 1, \\
\mathcal{A}(e_2) &= x + 1 = 1 + x, \\
\mathcal{A}(e_3) &= y + 1 = 1 + y, \\
\mathcal{A}(e_4) &= (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1, \\
\mathcal{A}(e_5) &= (x+1)(y+1) = xy + x + y + 1, \\
\mathcal{A}(e_6) &= (y+1)^2 = y^2 + 2y + 1.
\end{aligned}
\]
Запишем координаты полученных многочленов в базисе \((e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6)\) и составим из них столбцы матрицы оператора \(\mathcal{A}\):
\[
\mathcal{A}(e_1) \leftrightarrow \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix},\;
\mathcal{A}(e_2) \leftrightarrow \begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix},\;
\mathcal{A}(e_3) \leftrightarrow \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix},
\]
\[
\mathcal{A}(e_4) \leftrightarrow \begin{pmatrix}1\\2\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix},\;
\mathcal{A}(e_5) \leftrightarrow \begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\\1\\0\end{pmatrix},\;
\mathcal{A}(e_6) \leftrightarrow \begin{pmatrix}1\\0\\2\\0\\0\\1\end{pmatrix}.
\]

**Ответ.** Координатной формой (матрицей) оператора \(\mathcal{A}\) в базисе \((1, x, y, x^2, xy, y^2)\) является матрица
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]