====== Задача 40.21 ======

Пусть $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ — корни характеристического многочлена матрицы $A$ (собственные значения с учётом кратностей). Найти собственные значения линейных операторов:

а) $\varphi(X)=AX^TA$ в пространстве $M_n(\mathbb{R})$;

б) $\psi(X)=AXA^{-1}$ в пространстве $M_n(\mathbb{R})$ ($A$ невырождена).

==== Решение ====

=== а) Оператор $\varphi(X)=AX^TA$ ===

Рассмотрим сначала случай, когда $A$ диагонализуема. Тогда существует базис, в котором $A=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$. В этом базисе для матрицы $X=(x_{ij})$ имеем
\[
\varphi(X)_{ij}=\lambda_i\lambda_j\,x_{ji}.
\]
Действие на матричные единицы $E_{pq}$ (1 на месте $(p,q)$, 0 elsewhere):
\[
\varphi(E_{pq}) = \lambda_p\lambda_q\,E_{qp}.
\]

* Для диагональных элементов ($p=q$): $\varphi(E_{pp})=\lambda_p^2E_{pp}$, значит $E_{pp}$ — собственный вектор с $\mu=\lambda_p^2$.
* Для пары $p\neq q$: подпространство $\langle E_{pq},E_{qp}\rangle$ инвариантно, и в базисе $\{E_{pq},E_{qp}\}$ оператор имеет матрицу $\begin{pmatrix}0 & \lambda_p\lambda_q \\ \lambda_p\lambda_q & 0\end{pmatrix}$. Её собственные значения: $\lambda_p\lambda_q$ (собственный вектор $E_{pq}+E_{qp}$) и $-\lambda_p\lambda_q$ (собственный вектор $E_{pq}-E_{qp}$).

Таким образом, для диагонализуемой $A$ спектр $\varphi$ состоит из чисел
\[
\lambda_i^2\;(i=1,\dots,n),\qquad \pm\lambda_i\lambda_j\;(1\le i<j\le n).
\]
Поскольку характеристический многочлен $\varphi$ выражается через элементарные симметрические функции от $\lambda_i$ (он не зависит от приведения $A$ к диагональной форме), этот же набор собственных значений (с учётом кратностей) сохраняется для любой матрицы $A$. Общее количество собственных значений: $n+2\binom{n}{2}=n^2$, что совпадает с размерностью $M_n(\mathbb{R})$.

**Ответ для (а):** собственные значения оператора $\varphi$ — это $\lambda_i^2$ ($i=1,\dots,n$) и $\pm\lambda_i\lambda_j$ для всех $i<j$.

=== б) Оператор $\psi(X)=AXA^{-1}$ ===

Оператор $\psi$ линеен. Используем векторизацию: $\operatorname{vec}(AXA^{-1}) = (A\otimes (A^{-1})^T)\operatorname{vec}X$. Здесь $\otimes$ — кронекеровское произведение. Собственные значения матрицы $A\otimes B$ равны всевозможным произведениям собственных значений $A$ и $B$. Для $B=(A^{-1})^T$ собственные значения совпадают с собственными значениями $A^{-1}$, т.е. $\lambda_j^{-1}$. Следовательно, собственные значения оператора $\psi$ — это числа
\[
\lambda_i\cdot\frac{1}{\lambda_j} = \frac{\lambda_i}{\lambda_j},\qquad i,j=1,\dots,n.
\]
Поскольку $A$ невырождена, все $\lambda_j\neq0$, и отношения определены. Кратность каждого $\lambda_i/\lambda_j$ равна произведению кратностей $\lambda_i$ и $\lambda_j$ в характеристическом многочлене $A$.

**Ответ для (б):** собственные значения оператора $\psi$ — это все числа $\dfrac{\lambda_i}{\lambda_j}$ ($i,j=1,\dots,n$).

==== Итоговый ответ ====

а) $\lambda_i^2\;(i=1..n)$ и $\pm\lambda_i\lambda_j\;(1\le i<j\le n)$;

б) $\dfrac{\lambda_i}{\lambda_j}\;(i,j=1..n)$.