===== Задача 39.20 =====

Линейный оператор в пространстве $\mathbb{R}[x]_2$ имеет в базисе $(1, x, x^2)$ матрицу
$$
A = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$
Найти его матрицу в базисе
$$
(3x^2 + 2x + 1,\; x^2 + 3x + 2,\; 2x^2 + x + 3).
$$

===== Решение =====

**1. Координаты новых базисных векторов в старом базисе.**  
Старый базис: $e_1 = 1$, $e_2 = x$, $e_3 = x^2$.  
$$
\begin{aligned}
b_1 &= 3x^2+2x+1 = 1\cdot e_1 + 2\cdot e_2 + 3\cdot e_3 \;\Rightarrow\; (1,2,3)^T,\\
b_2 &= x^2+3x+2 = 2\cdot e_1 + 3\cdot e_2 + 1\cdot e_3 \;\Rightarrow\; (2,3,1)^T,\\
b_3 &= 2x^2+x+3 = 3\cdot e_1 + 1\cdot e_2 + 2\cdot e_3 \;\Rightarrow\; (3,1,2)^T.
\end{aligned}
$$
Матрица перехода от нового базиса к старому (столбцы – координаты новых векторов):
$$
P = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}.
$$

**2. Обратная матрица.**  
$\det P = -18$.  
$$
P^{-1} = \frac{1}{-18} \begin{pmatrix}
5 & -1 & -7 \\
-1 & -7 & 5 \\
-7 & 5 & -1
\end{pmatrix}^T = \frac{1}{18} \begin{pmatrix}
-5 & 1 & 7 \\
1 & 7 & -5 \\
7 & -5 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**3. Вычисление $A P$.**  
$$
A P = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
3 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}.
$$

**4. Новая матрица $B = P^{-1} (A P)$.**  
$$
B = \frac{1}{18}
\begin{pmatrix}
-5 & 1 & 7 \\
1 & 7 & -5 \\
7 & -5 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
= \frac{1}{18}
\begin{pmatrix}
-6 & 12 & 12 \\
12 & 12 & -6 \\
12 & -6 & 12
\end{pmatrix}
= \frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 2 \\
2 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 2
\end{pmatrix}.
$$

**Ответ.**  
$$
\boxed{\frac13 \begin{pmatrix}
-1 & 2 & 2 \\
2 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 2
\end{pmatrix}}
$$