===== Задача 39.19 =====

Пусть линейный оператор в пространстве \(V\) в базисе \((e_1, e_2, e_3, e_4)\) имеет матрицу
\[
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
5 & 4 & 0 & -1 \\
3 & 2 & 0 & 3 \\
6 & 1 & -1 & 7
\end{pmatrix}.
\]

Найти матрицу этого оператора в базисах:

  * a) \((e_2, e_1, e_3, e_4)\);
  * б) \((e_1,\; e_1+e_2,\; e_1+e_2+e_3,\; e_1+e_2+e_3+e_4)\).

---

=== Решение ===

==== a) Базис \((e_2, e_1, e_3, e_4)\) ====

Матрица перехода от старого базиса к новому \(P\) (столбцы – координаты новых базисных векторов в старом базисе):
\[
P = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]

Поскольку \(P^{-1} = P\) (перестановка), матрица оператора в новом базисе равна
\[
A' = P^{-1} A P = P A P.
\]

Умножим \(P A\) (перестановка строк 1 и 2):
\[
P A = \begin{pmatrix}
5 & 4 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 0 & 3 \\
6 & 1 & -1 & 7
\end{pmatrix}.
\]

Умножим справа на \(P\) (перестановка столбцов 1 и 2):
\[
A' = (P A) P = \begin{pmatrix}
4 & 5 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 0 & 3 \\
1 & 6 & -1 & 7
\end{pmatrix}.
\]

Ответ для пункта (а):
\[
\boxed{A'_a = \begin{pmatrix}
4 & 5 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 0 & 3 \\
1 & 6 & -1 & 7
\end{pmatrix}}.
\]

==== б) Базис \((e_1,\; e_1+e_2,\; e_1+e_2+e_3,\; e_1+e_2+e_3+e_4)\) ====

Матрица перехода \(Q\) (столбцы – координаты новых базисных векторов):
\[
Q = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}, \qquad
Q^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]

Сначала вычислим \(B = A Q\). Столбцы \(B\) – это образы столбцов \(Q\) под действием \(A\):
\[
\begin{aligned}
A q_1 &= (0,5,3,6)^T, \\
A q_2 &= (1,9,5,7)^T, \\
A q_3 &= (3,9,5,6)^T, \\
A q_4 &= (6,8,8,13)^T.
\end{aligned}
\]
Следовательно,
\[
B = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 3 & 6 \\
5 & 9 & 9 & 8 \\
3 & 5 & 5 & 8 \\
6 & 7 & 6 & 13
\end{pmatrix}.
\]

Теперь \(A' = Q^{-1} B\). Вычисляем строки:
\[
\begin{aligned}
\text{строка 1: } & (0-5,\; 1-9,\; 3-9,\; 6-8) = (-5,-8,-6,-2),\\
\text{строка 2: } & (5-3,\; 9-5,\; 9-5,\; 8-8) = (2,4,4,0),\\
\text{строка 3: } & (3-6,\; 5-7,\; 5-6,\; 8-13) = (-3,-2,-1,-5),\\
\text{строка 4: } & (6,\; 7,\; 6,\; 13).
\end{aligned}
\]

Итак,
\[
A'_б = \begin{pmatrix}
-5 & -8 & -6 & -2 \\
2 & 4 & 4 & 0 \\
-3 & -2 & -1 & -5 \\
6 & 7 & 6 & 13
\end{pmatrix}.
\]

Ответ для пункта (б):
\[
\boxed{A'_б = \begin{pmatrix}
-5 & -8 & -6 & -2 \\
2 & 4 & 4 & 0 \\
-3 & -2 & -1 & -5 \\
6 & 7 & 6 & 13
\end{pmatrix}}.
\]