==== 39.16. ==== 
Доказать, что в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ существует единственный
линейный оператор, переводящий векторы $(1,1,1),(0,1,0),(1,0,2)$
соответственно в векторы $(1,1,1),(0,1,0),(1,0,1)$, и найти матрицу
этого оператора в базисе, состоящем из единичных векторов.
-----

Составляем матричное уравнение

$$
A\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 2
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & -1\\
-2 & 1 & 1\\
-1 & 0 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{array}\right),$$

где обратную матрицу нашли при помощи преобразований:

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc|c|c}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & X & A_{1}\\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & X & A_{2}\\
1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & X & A_{3}\\ \hline
0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & X & A_{4}=A_{2}-A_{1}\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 &  & A_{5}=A_{3}-A_{1}\\
1 & 0 & 0 & 2 & 0 & -1 &  & A_{6}=A_{1}-A_{5}\\
0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 1 &  & A_{7}=A_{4}+A_{5}
\end{array}\right)
$$

/*
Второй вариант: Составляем матрицу перехода:

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
x_{1} & x_{2} & x_{3} & y_{1} & y_{2} & y_{3}\\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$$

$y_{1}=x_{1},$$y_{2}=x_{2},y_{3}=x_{1}-x_{2}$

$$A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right).$$
*/