===== Задача 38.11 =====

**Условие.**  
При каких значениях \(\lambda\) следующие квадратичные функции являются положительно определёнными:

а) \(5x_1^2 + x_2^2 + \lambda x_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3 - 2x_2x_3\);

б) \(2x_1^2 + x_2^2 + 3x_3^2 + 2\lambda x_1x_2 + 2x_1x_3\);

в) \(x_1^2 + x_2^2 + 5x_3^2 + 2\lambda x_1x_2 - 2x_1x_3 + 4x_2x_3\).

---

=== Решение ===

Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры её симметрической матрицы были положительны (критерий Сильвестра). Для каждого пункта составим матрицу и найдём условия на \(\lambda\).

=== а) ===

Матрица формы:
\[
A = \begin{pmatrix}
5 & 2 & -1 \\
2 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & \lambda
\end{pmatrix}.
\]

Главные миноры:
\[
\Delta_1 = 5 > 0,\quad
\Delta_2 = \begin{vmatrix}5 & 2\\ 2 & 1\end{vmatrix} = 5\cdot1 - 2\cdot2 = 1 > 0,
\]
\[
\Delta_3 = \det A = 5(1\cdot\lambda - (-1)(-1)) - 2(2\lambda - (-1)(-1)) + (-1)(2(-1) - 1(-1)) = 5(\lambda - 1) - 2(2\lambda - 1) + (-1)(-2 + 1) = 5\lambda - 5 - 4\lambda + 2 + 1 = \lambda - 2.
\]
Условие \(\Delta_3 > 0\) даёт \(\lambda > 2\).

**Ответ для а):** \(\lambda > 2\).

=== б) ===

Матрица формы:
\[
B = \begin{pmatrix}
2 & \lambda & 1 \\
\lambda & 1 & 0 \\
1 & 0 & 3
\end{pmatrix}.
\]

Главные миноры:
\[
\Delta_1 = 2 > 0,\quad
\Delta_2 = \begin{vmatrix}2 & \lambda\\ \lambda & 1\end{vmatrix} = 2 - \lambda^2 > 0 \;\Rightarrow\; |\lambda| < \sqrt{2},
\]
\[
\Delta_3 = \det B = 2(1\cdot3 - 0\cdot0) - \lambda(\lambda\cdot3 - 0\cdot1) + 1(\lambda\cdot0 - 1\cdot1) = 6 - 3\lambda^2 - 1 = 5 - 3\lambda^2 > 0 \;\Rightarrow\; \lambda^2 < \frac{5}{3} \;\Rightarrow\; |\lambda| < \sqrt{\frac{5}{3}}.
\]
Условия \(\Delta_2 > 0\) и \(\Delta_3 > 0\) совместны при \(|\lambda| < \sqrt{5/3}\) (так как \(\sqrt{5/3} \approx 1.29 < \sqrt{2} \approx 1.41\)).

**Ответ для б):** \(-\sqrt{\dfrac{5}{3}} < \lambda < \sqrt{\dfrac{5}{3}}\).

=== в) ===

Матрица формы:
\[
C = \begin{pmatrix}
1 & \lambda & -1 \\
\lambda & 1 & 2 \\
-1 & 2 & 5
\end{pmatrix}.
\]

Главные миноры:
\[
\Delta_1 = 1 > 0,\quad
\Delta_2 = \begin{vmatrix}1 & \lambda\\ \lambda & 1\end{vmatrix} = 1 - \lambda^2 > 0 \;\Rightarrow\; |\lambda| < 1,
\]
\[
\Delta_3 = \det C = 1(1\cdot5 - 2\cdot2) - \lambda(\lambda\cdot5 - 2\cdot(-1)) + (-1)(\lambda\cdot2 - 1\cdot(-1)) = 1(5-4) - \lambda(5\lambda+2) + (-1)(2\lambda+1) = 1 - 5\lambda^2 - 2\lambda - 2\lambda - 1 = -5\lambda^2 - 4\lambda = -\lambda(5\lambda+4).
\]
Условие \(\Delta_3 > 0\): \(-\lambda(5\lambda+4) > 0 \;\Rightarrow\; \lambda(5\lambda+4) < 0\). Решая неравенство, получаем \(-\frac{4}{5} < \lambda < 0\). Это условие автоматически удовлетворяет \(\Delta_2 > 0\), так как \(|\lambda| < 1\) на этом интервале.

**Ответ для в):** \(-\dfrac{4}{5} < \lambda < 0\).