===== Задача 36.3 =====

Пусть линейное отображение $A: V \to W$ в базисах $(e_1, e_2, e_3)$ пространства $V$ и $(f_1, f_2)$ пространства $W$ имеет матрицу
$$
\begin{pmatrix} 
0 & 1 & 2 \\ 
3 & 4 & 5 
\end{pmatrix}.
$$
Найти матрицу отображения $A$ в базисах
$(e_1,\; e_1+e_2,\; e_1+e_2+e_3)$ и $(f_1,\; f_1+f_2)$.

===== Решение =====

1. **Обозначения и формулы.**  
Старые базисы: $\mathbf{e} = (e_1,e_2,e_3)$ в $V$, $\mathbf{f} = (f_1,f_2)$ в $W$.  
Матрица отображения в этих базисах – $A$ (размера $2 \times 3$).  
Новые базисы:  
$\mathbf{e}' = (e_1', e_2', e_3')$ с $e_1' = e_1,\; e_2' = e_1+e_2,\; e_3' = e_1+e_2+e_3$;  
$\mathbf{f}' = (f_1', f_2')$ с $f_1' = f_1,\; f_2' = f_1+f_2$.

Матрица перехода от нового базиса к старому в $V$ (столбцы – координаты новых векторов в старом базисе):
$$
Q = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$
Матрица перехода от нового базиса к старому в $W$:
$$
P = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix},\qquad 
P^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

Матрица отображения в новых базисах:
$$
A' = P^{-1} \cdot A \cdot Q.
$$

2. **Вычисление $A Q$.**  
$$
A Q = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
3 & 4 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 & 1 & 3 \\
3 & 7 & 12
\end{pmatrix}.
$$

3. **Умножение на $P^{-1}$.**  
$$
A' = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 3 \\
3 & 7 & 12
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-3 & -6 & -9 \\
3 & 7 & 12
\end{pmatrix}.
$$

4. **Проверка (на примере первого базисного вектора).**  
$e_1' = e_1$. Образ: $A(e_1) = 0\cdot f_1 + 3\cdot f_2 = 3f_2$.  
В новом базисе $W$: $3f_2 = 3(f_2' - f_1') = -3f_1' + 3f_2'$, что даёт координаты $(-3,3)$.  
Первый столбец $A'$ – $(-3,3)^\mathsf{T}$ – совпадает.

5. **Ответ.**  
$$
\boxed{
\begin{pmatrix}
-3 & -6 & -9 \\
3 & 7 & 12
\end{pmatrix}
}
$$