===== Задача 35.22 =====

Пусть \( U \) — подпространство кососимметрических матриц,  
\( V \) — подпространство верхнетреугольных матриц в \( M_n(\mathbb{R}) \).

**а)** Доказать, что \( U \oplus V = M_n(\mathbb{R}) \).  
**б)** Найти проекцию матриц \( E_{ij} \) на \( U \) и \( V \).

---

==== Решение ====

=== а) Прямая сумма ===

Кососимметрическая матрица \( A \) удовлетворяет \( A^T = -A \), в частности \( a_{ii}=0 \), \( a_{ij} = -a_{ji} \) для \( i\neq j \).  
Верхнетреугольная матрица \( B \) удовлетворяет \( b_{ij}=0 \) при \( i>j \).

* **Пересечение \( U \cap V \):**  
Если матрица одновременно кососимметрическая и верхнетреугольная, то для \( i>j \) имеем \( a_{ij}=0 \) (из верхнетреугольности) и \( a_{ji} = -a_{ij}=0 \). Для \( i<j \) из кососимметричности \( a_{ij} = -a_{ji} = 0 \). Диагональные элементы равны нулю. Следовательно, матрица нулевая.  
Таким образом, \( U \cap V = \{0\} \).

* **Размерности:**  
\( \dim U = \frac{n(n-1)}{2} \) (независимые элементы над диагональю),  
\( \dim V = \frac{n(n+1)}{2} \) (все элементы на диагонали и выше).  
Сумма размерностей равна \( n^2 = \dim M_n(\mathbb{R}) \).  
Поскольку \( U+V \subseteq M_n(\mathbb{R}) \) и размерности складываются, получаем \( U \oplus V = M_n(\mathbb{R}) \).

Конструктивно: для произвольной матрицы \( A \) разложение \( A = U_A + V_A \) с \( U_A\in U \), \( V_A\in V \) задаётся формулами:
\[
u_{ij} = 
\begin{cases}
a_{ij}, & i>j,\\
-a_{ji}, & i<j,\\
0, & i=j,
\end{cases}
\qquad
v_{ij} = 
\begin{cases}
0, & i>j,\\
a_{ii}, & i=j,\\
a_{ij}+a_{ji}, & i<j.
\end{cases}
\]
Непосредственная проверка показывает, что \( U_A \) кососимметрична, \( V_A \) верхнетреугольна и \( A = U_A + V_A \).

---

=== б) Проекции матричных единиц ===

Матричная единица \( E_{ij} \) имеет 1 на пересечении \( i \)-й строки и \( j \)-го столбца, остальные элементы нули.

Используя формулы разложения, получаем:

* **Проекция на \( U \) (кососимметрическую часть) параллельно \( V \):**  
\[
P_U(E_{ij}) = 
\begin{cases}
E_{ij}, & i>j,\\
0, & i\le j.
\end{cases}
\]

* **Проекция на \( V \) (верхнетреугольную часть) параллельно \( U \):**  
\[
P_V(E_{ij}) = 
\begin{cases}
E_{ij}, & i\le j,\\
0, & i>j.
\end{cases}
\]

Иначе говоря,  
- для \( i=j \): \( P_U(E_{ii})=0 \), \( P_V(E_{ii})=E_{ii} \);  
- для \( i<j \): \( P_U(E_{ij})=0 \), \( P_V(E_{ij})=E_{ij} \);  
- для \( i>j \): \( P_U(E_{ij})=E_{ij} \), \( P_V(E_{ij})=0 \).

---

==== Ответ ====

**а)** \( M_n(\mathbb{R}) = U \oplus V \).  
**б)**  
\[
P_U(E_{ij}) = 
\begin{cases}
E_{ij}, & i>j,\\
0, & i\le j,
\end{cases}
\qquad
P_V(E_{ij}) = 
\begin{cases}
E_{ij}, & i\le j,\\
0, & i>j.
\end{cases}
\]