===== 299. Определитель с арифметической прогрессией в первой строке =====

==== Условие задачи ====
Вычислить определитель порядка $n$
$$\begin{vmatrix}a&a+h&a+2h&\dots&a+(n-1)h\\-a&a&0&\dots&0\\0&-a&a&\dots&0\\\vdots&&&&\vdots\\0&0&0&\dots&a\end{vmatrix}$$
(в строках со 2-й по $n$-ю: $-a$ под главной диагональю, $a$ на диагонали, остальные нули).

==== Решение ====
В каждой строке, начиная со второй, сумма элементов «от диагонали влево» равна нулю: $-a+a=0$. Поэтому к каждому столбцу прибавим все столбцы, стоящие правее него (сначала к $(n-1)$-му $n$-й, затем к $(n-2)$-му новый $(n-1)$-й и т.д.). Определитель не изменится.

После этого в строке $i\ge2$ в столбце $j$ стоит сумма исходных элементов строки с номерами от $j$ до $n$:
  * при $j<i$: $-a+a=0$;
  * при $j=i$: $a$;
  * при $j>i$: $0$.

Матрица стала верхнетреугольной с диагональю $(S,a,a,\dots,a)$, где $S$ — сумма всей первой строки (арифметическая прогрессия):
$$S=na+h\,(1+2+\dots+(n-1))=na+\frac{n(n-1)}2h.$$
Значит
$$D=a^{n-1}\Bigl(na+\frac{n(n-1)}2h\Bigr)=\frac{n\,a^{n-1}\,\bigl(2a+(n-1)h\bigr)}2.$$

Проверка при $n=2$: $\begin{vmatrix}a&a+h\\-a&a\end{vmatrix}=a^2+a(a+h)=a(2a+h)$ — совпадает.

==== Ответ ====
$\dfrac{n\,a^{n-1}\bigl(2a+(n-1)h\bigr)}2$.