===== 293. Определитель с двумя диагоналями (порядка 2n) =====

==== Условие задачи ====
Вычислить определитель порядка $2n$
$$D_{2n}=\begin{vmatrix}a&0&0&\dots&0&0&b\\0&a&0&\dots&0&b&0\\0&0&a&\dots&b&0&0\\\vdots&&&&&&\vdots\\0&0&b&\dots&a&0&0\\0&b&0&\dots&0&a&0\\b&0&0&\dots&0&0&a\end{vmatrix}.$$

==== Решение ====
Разложим определитель по первой строке — в ней два ненулевых элемента: $a$ на месте $(1,1)$ и $b$ на месте $(1,2n)$:
$$D_{2n}=a\,M_{1,1}+(-1)^{1+2n}\,b\,M_{1,2n}=a\,M_{1,1}-b\,M_{1,2n}.$$

В миноре $M_{1,1}$ (порядка $2n-1$) последняя строка — $(0,\dots,0,a)$; раскладывая по ней, получаем $M_{1,1}=a\,D_{2n-2}$.

В миноре $M_{1,2n}$ последняя строка — $(b,0,\dots,0)$; элемент $b$ стоит на месте $(2n-1,1)$, знак $(-1)^{2n-1+1}=+1$, поэтому $M_{1,2n}=b\,D_{2n-2}$.

Итак,
$$D_{2n}=(a^2-b^2)\,D_{2n-2},\qquad D_2=\begin{vmatrix}a&b\\b&a\end{vmatrix}=a^2-b^2,$$
откуда по индукции $D_{2n}=(a^2-b^2)^n$.

//Другой способ.// Переставим строки и столбцы одинаково в порядке $1,2n,2,2n-1,\dots$ (определитель при этом не меняется: число перестановок строк и столбцов одинаково). Получим блочно-диагональную матрицу из $n$ блоков $\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}$.

==== Ответ ====
$(a^2-b^2)^n$.