===== 280. Определитель "единицы + диагональ" =====

==== Условие задачи ====
Вычислить определитель
$$\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}.$$

==== Решение ====
Матрица имеет вид $J+D$, где $J$ — матрица из всех единиц, а $D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_5)$ с $d_i=(\text{диагональный элемент})-1$, то есть $D=\operatorname{diag}(1,2,3,4,5)$. По лемме об определителе матрицы, изменённой на матрицу ранга 1 ($J=\mathbf 1\mathbf 1^{\mathsf T}$):
$$\det(D+\mathbf1\mathbf1^{\mathsf T})=\Bigl(\prod_{i=1}^5 d_i\Bigr)\left(1+\sum_{i=1}^5\frac1{d_i}\right).$$
Здесь $\prod d_i=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120$, а
$$\sum\frac1{d_i}=1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15=\frac{60+30+20+15+12}{60}=\frac{137}{60}.$$
Значит
$$\det=120\left(1+\frac{137}{60}\right)=120\cdot\frac{197}{60}=2\cdot197=394.$$

==== Ответ ====
$394$.