===== Задача 24.103 =====

Пусть $\mathcal{L}$ — линейное пространство бесконечно дифференцируемых функций $f(t)$ ($t \in \mathbb{R}$), $n$ — целое неотрицательное число, $\lambda$ — фиксированное действительное число. Доказать, что данное множество функций образует подпространство в $\mathcal{L}$, инвариантное относительно дифференцирования $D$:

1) множество всех многочленов;

2) множество всех многочленов степени не выше $n$;

3) множество всех тригонометрических многочленов порядка не выше $n$;

4) множество всех линейных комбинаций функций $e^{\lambda_1 t}, \ldots, e^{\lambda_n t}$;

5) множество всех функций $f(t) = e^{\lambda t} p(t)$, где $p(t)$ — произвольный многочлен;

6) множество всех функций $f(t) = e^{\lambda t} T(t)$, где $T(t)$ — произвольный тригонометрический многочлен.