===== Задача 20.16 =====

**Условие.**  
Найти размерность и базис линейной оболочки системы многочленов  
\[
(1+t)^3,\ t^3,\ 1,\ t+t^2.
\]

=== Решение ===

Раскроем \((1+t)^3 = 1 + 3t + 3t^2 + t^3\).  
Запишем все многочлены в стандартном базисе \(\{1, t, t^2, t^3\}\) пространства многочленов степени не выше 3:

\[
\begin{aligned}
v_1 &= (1+t)^3 = 1 + 3t + 3t^2 + t^3, \\
v_2 &= t^3, \\
v_3 &= 1, \\
v_4 &= t + t^2.
\end{aligned}
\]

Координаты векторов:
\[
v_1 = (1, 3, 3, 1),\quad v_2 = (0,0,0,1),\quad v_3 = (1,0,0,0),\quad v_4 = (0,1,1,0).
\]

Составим матрицу из этих координат (строки) и найдём её ранг:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]
Приведём к ступенчатому виду. Переставим строки для удобства: строка 3, строка 1, строка 4, строка 2:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 3 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
Вычтем первую строку из второй: \((1,3,3,1)-(1,0,0,0) = (0,3,3,1)\). Получим:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
Из второй строки вычтем третью, умноженную на 3: \((0,3,3,1)-3(0,1,1,0) = (0,0,0,1)\). Теперь имеем:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
Четвёртая строка линейно зависима от третьей, её удаляем. Остаются три ненулевые строки. Ранг равен 3, следовательно, размерность линейной оболочки равна 3.

Базис можно выбрать из исходных многочленов, например, \(\{1,\ t+t^2,\ t^3\}\). Проверка: \((1+t)^3 = 1 + 3(t+t^2) + t^3\), значит, он выражается через эти три.

**Ответ:**  
Размерность \(3\), базис \(\{1,\ t+t^2,\ t^3\}\).