===== 46.16. =====
Представить в виде произведения положительного самосопряжённого
и ортогонального операторов оператор, заданный в некотором ортонормированном
базисе матрицей:

==== а) ====
$$A=\left(\begin{array}{cc}
2 & -1\\
2 & 1
\end{array}\right).$$

-----

Алгоритм построения сингулярного 

Составляем матрицу 

$$A^{\dagger}\cdot A=\left(\begin{array}{cc}
2 & 2\\
-1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
2 & -1\\
2 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
8 & 0\\
0 & 2
\end{array}\right)$$

тогда диагональная матрица:

$$\Sigma=\sqrt{A^{*}A}=\left(\begin{array}{cc}
2\sqrt{2} & 0\\
0 & \sqrt{2}
\end{array}\right),$$

следовательно, ортогональный оператор $V=E$ единичный, и тогда $A=U\Sigma,$
откуда уже получим матрицу самосопряжённого оператора:

$$U=A\Sigma^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
2 & -1\\
2 & 1
\end{array}\right)\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}
\sqrt{2} & 0\\
0 & 2\sqrt{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
2 & -1\\
2 & 1
\end{array}\right)\frac{\sqrt{2}}{4}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 2
\end{array}\right)=$$

$$\frac{\sqrt{2}}{4}\left(\begin{array}{cc}
2 & -2\\
2 & 2
\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 1
\end{array}\right).$$

Если есть желание записать сначала самосопряжённый оператор, то

$$A=U\Sigma=\Sigma\Sigma^{-1}U\Sigma=\Sigma V \ \ \Rightarrow \ \ V=\Sigma^{-1}A=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}
\sqrt{2} & 0\\
0 & 2\sqrt{2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
2 & -1\\
2 & 1
\end{array}\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
2 & -1\\
2 & 1
\end{array}\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}\left(\begin{array}{cc}
2 & -1\\
4 & 2
\end{array}\right).$$


==== б) ====
$$A=\left(\begin{array}{cc}
1 & -4\\
1 & 4
\end{array}\right).$$

-----

Строим самосопряжённую матрицу

$$A^{*}A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
-4 & 4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & -4\\
1 & 4
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
2 & 0\\
0 & 32
\end{array}\right)=\Sigma^{2}.$$

$$\Sigma=\sqrt{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 4
\end{array}\right)$$

в итоге, как и раньше получим $e_{1}=\left(1,0\right)^{T};e_{2}=\left(0,1\right)^{T}$

далее

$$v_{1}=\frac{Ae_{1}}{|Ae_{1}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1,1\right)^{T}$$

$$v_{2}=\frac{Ae_{2}}{|Ae_{2}|}=\frac{\left(-4,4\right)^{T}}{\sqrt{16+16}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-1,1\right)^{T}$$

тогда разложение:

$$\left(\begin{array}{cc}
1 & -4\\
1 & 4
\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 1
\end{array}\right)\sqrt{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 4
\end{array}\right).$$

Можно представить в виде

$$\left(\begin{array}{cc}
1 & -4\\
1 & 4
\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 1
\end{array}\right)\sqrt{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 4
\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 1
\end{array}\right)\sqrt{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 4
\end{array}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 1
\end{array}\right)\right)^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 1
\end{array}\right)=$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
-1 & 1
\end{array}\right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 1
\end{array}\right)=$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & -4\\
1 & 4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
-1 & 1
\end{array}\right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 1
\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
5 & -3\\
-3 & 5
\end{array}\right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 1
\end{array}\right)$$

===== Построить сингулярное разложение оператора $A:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}$ =====

$$A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)$$

-----

Можно построить матрицу $$A^{*}A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)$$

и искать её разложение, но матрица $A^{*}A$ будет порядка 3 и вырожденной,
поэтому для удобства найдём разложение сопряжённой матрицы 
$$A^{*}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right).$$

Для неё

$$AA^{*}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
3 & 1\\
1 & 1
\end{array}\right)$$

характеристический многочлен даёт 

$$\chi(\lambda)=\lambda^{2}-4\lambda+2=\left(2+\sqrt{2}-\lambda\right)\left(2-\sqrt{2}-\lambda\right)$$

корни

$$\lambda_{1}=2+\sqrt{2};\lambda_{2}=2-\sqrt{2}.$$

Ищем собственные вектора:

$$\left(\begin{array}{cc}
3 & 1\\
1 & 1
\end{array}\right)-\left(2+\sqrt{2}\right)E=\left(\begin{array}{cc}
1-\sqrt{2} & 1\\
1 & -1-\sqrt{2}
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc}
1-\sqrt{2} & 1\\
1 & -1-\sqrt{2}\\ \hline
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & -\left(1+\sqrt{2}\right)\\ \hline
1 & 0\\
-1+\sqrt{2} & 1
\end{array}\right).$$

Первый вектор $$v_{1}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(-1+\sqrt{2}\right)^{2}}}\left(1,-1+\sqrt{2}\right)^{T}=\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}\left(1,-1+\sqrt{2}\right)^{T}$$

второй будет ему ортогональный, например, $$v_{2}=\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}\left(1-\sqrt{2},1\right)^{T},$$

тогда матрица ортогонального оператора:

$$V=\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1-\sqrt{2}\\
-1+\sqrt{2} & 1
\end{array}\right).$$

Матрицу $U$ строим при помощи векторов 

$$u_{1}=\frac{1}{\sqrt{\lambda_{1}}}A^{*}v_{1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
-1+\sqrt{2}
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}
1\\
\sqrt{2}\\
1
\end{array}\right)$$

$$u_{2}=\frac{1}{\sqrt{\lambda_{2}}}A^{*}v_{2}=\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
1-\sqrt{2}\\
1
\end{array}\right)=\frac{1}{2\sqrt{3-2\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{c}
1-\sqrt{2}\\
2-\sqrt{2}\\
1-\sqrt{2}
\end{array}\right).$$

Ещё один вектор берём произвольный, ортогональный двум имеющимся и
нормализуем его:

$$u_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
-1
\end{array}\right)$$

Получаем матрицу 
$$U=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{2} & \frac{1-\sqrt{2}}{2\sqrt{3-2\sqrt{2}}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{3-2\sqrt{2}}} & 0\\
\frac{1}{2} & \frac{1-\sqrt{2}}{2\sqrt{3-2\sqrt{2}}} & \frac{-1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right).$$

В итоге получили разложение:

$$A^{*}=A^{\dagger}=U\Sigma V^{\dagger}=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{2} & \frac{1-\sqrt{2}}{2\sqrt{3-2\sqrt{2}}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{3-2\sqrt{2}}} & 0\\
\frac{1}{2} & \frac{1-\sqrt{2}}{2\sqrt{3-2\sqrt{2}}} & \frac{-1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
\sqrt{2+\sqrt{2}} & 0\\
0 & \sqrt{2-\sqrt{2}}\\
0 & 0
\end{array}\right)
\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{cc}
1 & -1+\sqrt{2}\\
1-\sqrt{2} & 1
\end{array}\right)$$

тогда для матрицы $A$

$$A=\left(U\Sigma V^{\dagger}\right)^{\dagger}=V\Sigma U^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1-\sqrt{2}\\
-1+\sqrt{2} & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\sqrt{2+\sqrt{2}} & 0 & 0\\
0 & \sqrt{2-\sqrt{2}} & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1-\sqrt{2}}{2\sqrt{3-2\sqrt{2}}} & \frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{3-2\sqrt{2}}} & \frac{1-\sqrt{2}}{2\sqrt{3-2\sqrt{2}}}\\
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{-1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right).$$

Вернёмся к поиску разложения матрицы $A$ **в лоб**. Построим матрицу 

$$A^{*}A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)$$ 

её характеристический многочлен

$$\chi(x)=-\lambda\left(\lambda^{2}-4\lambda+2\right)=\lambda\left(2+\sqrt{2}-\lambda\right)\left(2-\sqrt{2}-\lambda\right)$$

дополнится только нулевым корнем.

Найдём собственные вектора

$$A-\left(2+\sqrt{2}\right)E=\left(\begin{array}{ccc}
-1-\sqrt{2} & 1 & 1\\
1 & -\sqrt{2} & 1\\
1 & 1 & -1-\sqrt{2}
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
-1-\sqrt{2} & 1 & 1\\
1 & -\sqrt{2} & 1\\
1 & 1 & -1-\sqrt{2}\\ \hline
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1\\
0 & -\sqrt{2} & 1\\
0 & 1 & -1-\sqrt{2}\\ \hline
1 & 0 & 0\\
\sqrt{2} & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)$$

$$A-\left(2-\sqrt{2}\right)E=\left(\begin{array}{ccc}
-1+\sqrt{2} & 1 & 1\\
1 & \sqrt{2} & 1\\
1 & 1 & -1+\sqrt{2}
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
-1+\sqrt{2} & 1 & 1\\
1 & \sqrt{2} & 1\\
1 & 1 & -1+\sqrt{2}\\ \hline
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1\\
0 & \sqrt{2} & 1\\
0 & 1 & -1+\sqrt{2}\\ \hline
1 & 0 & 0\\
-\sqrt{2} & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{array}\right)$$

$$A-0E=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1\\
1 & 1 & 1\\ \hline
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1\\
1 & 1 & 1\\ \hline
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 1
\end{array}\right).$$

Получили базис $$v_{1}=\frac{1}{2}(1,\sqrt{2},1)^{T};v_{2}=\frac{1}{2}(1,-\sqrt{2},1)^{T};v_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^{T},$$

по которой построим матрицу 

$$V=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{-\sqrt{2}}{2} & 0\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right).$$

Найдём теперь вектора 

$$u_{1}=\frac{1}{\sqrt{\lambda_{1}}}Av_{1}=\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}
1\\
\sqrt{2}\\
1
\end{array}\right)=\frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{c}
2+\sqrt{2}\\
\sqrt{2}
\end{array}\right)$$

$$u_{2}=\frac{1}{\sqrt{\lambda_{2}}}Av_{2}=\frac{1}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{c}
2-\sqrt{2}\\
-\sqrt{2}
\end{array}\right)$$

по которой построим матрицу $$U=\left(\begin{array}{cc}
\frac{2+\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}} & \frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}\\
\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}} & \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}
\end{array}\right).$$

Соответственно, получили разложение

$$A=U\Sigma V^{\dagger}=\left(\begin{array}{cc}
\frac{2+\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}} & \frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}\\
\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}} & \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\sqrt{2+\sqrt{2}} & 0 & 0\\
0 & \sqrt{2-\sqrt{2}} & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & \frac{-\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{-1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right).$$

Как видим получили другое разложение, т.е. оно не однозначное для
неквадратных матриц.