==== 41.1 ====
Найти жорданову форму матрицы

=== a) ===

$$A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -3 & 4\\
4 & -7 & 8\\
6 & -7 & 7
\end{array}\right)$$

-----

Запишем характеристический многочлен

$$|A-Ex|=-x^{3}+x^{2}+5x+3=-(x-3)(x+1)^{2}.$$

Далее:

$$A-E(-1)=\left(\begin{array}{ccc}
2 & -3 & 4\\
4 & -6 & 8\\
6 & -7 & 8
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
2 & -3 & 4\\
0 & 0 & 0\\
0 & 2 & -4
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 1 & -2
\end{array}\right).$$

Следовательно собственный вектор $X_{1}=(1,2,1)^{T}$.

Раз геометрическая размерность, т.е. размерность собственного пространства $\dim \left\langle X_1 \right\rangle  = 1$
и алгебраическая размерность, т.е. кратность корня $k=2$ не совпадают, то
жорданова клетка будет:

$$J_{-1}=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1\\
0 & -1
\end{array}\right).$$

Рассмотрим вторую степень

$$\left(A-E(-1)\right)^{2}=\left(\begin{array}{ccc}
2 & -3 & 4\\
4 & -6 & 8\\
6 & -7 & 8
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
2 & -3 & 4\\
4 & -6 & 8\\
6 & -7 & 8
\end{array}\right)=16\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1\\
2 & -2 & 2\\
2 & -2 & 2
\end{array}\right),$$

тогда корневые вектора определяются уравнением $x_{2}=x_{1}+x_{3}$.

Один вектор $X_{1}$ мы уже знаем, второй выберем линейнонезависимый $X_{2}=(1,1,0)^{T}$. Далее найдём собственный вектор другого собственного числа  

$$A-3E=\left(\begin{array}{ccc}
-2 & -3 & 4\\
4 & -10 & 8\\
6 & -7 & 4
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
-2 & -3 & 4\\
0 & -16 & 16\\
0 & -16 & 16
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 1\\
0 & -1 & 1
\end{array}\right).$$

Следовательно собственный вектор $X_{3}=(1,2,2)^{T}$.

Жорданова матрица:

$$J_{A}=\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{array}\right).$$

=== г) ===

$$A=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 8\\
3 & -1 & 6\\
-2 & 0 & -5
\end{array}\right).$$

-----

Характеристический многочлен 

$$\det(A-\lambda E)=-(\lambda+1)^{3}.$$

$$A+E=\left(\begin{array}{ccc}
4 & 0 & 8\\
3 & 0 & 6\\
-2 & 0 & -4
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\ \hline
4 & 0 & 8\\
3 & 0 & 6\\
-2 & 0 & -4
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -2\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\ \hline
4 & 0 & 0\\
3 & 0 & 0\\
-2 & 0 & 0
\end{array}\right).$$

Геометрическая размерность, т.е. размерность собственного пространства
$\dim=2$ и алгебраическая размерность, т.е. кратность корня не совпадают
$k=3$, то жорданова клетка будет:

$$J_{A}=\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{array}\right).$$

=== е) ===

$$A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & -3 & 0 & 3\\
-2 & -6 & 0 & 13\\
0 & -3 & 1 & 3\\
-1 & -4 & 0 & 8
\end{array}\right).$$

-----

Характеристический многочлен 

$$\det(A-\lambda E)=(\lambda-1)^{4}.$$

$$A-E=\left(\begin{array}{cccc}
0 & -3 & 0 & 3\\
-2 & -7 & 0 & 13\\
0 & -3 & 0 & 3\\
-1 & -4 & 0 & 7
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\ \hline
0 & -3 & 0 & 3\\
-2 & -7 & 0 & 13\\
0 & -3 & 0 & 3\\
-1 & -4 & 0 & 7
\end{array}\right)\to$$

$$\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\ \hline
0 & -3 & 0 & 0\\
-2 & -7 & 0 & 6\\
0 & -3 & 0 & 0\\
-1 & -4 & 0 & 3
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & -2\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\ \hline
0 & -3 & 0 & 0\\
-2 & -7 & 0 & 0\\
0 & -3 & 0 & 0\\
-1 & -4 & 0 & 0
\end{array}\right).$$

Геометрическая размерность $\dim=2$, алгебраическая $k=4$,
в таком случае жорданова клетка может быть вида

$$J_{1}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)=E+S_{1},$$ 
а может 
$$J_{2}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)=E+S_{2},$$

где $S_{1},S_{2}$ нильпотентные матрицы, такие что 

$$S_{1}^{2}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)^{2}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$$

и 

$$S_{2}^{2}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)^{2}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\neq\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right).$$

Но тогда рассмотрим вторую степень нашей матрицы

$$\left(A-E\right)^{2}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & -3 & 0 & 3\\
-2 & -7 & 0 & 13\\
0 & -3 & 0 & 3\\
-1 & -4 & 0 & 7
\end{array}\right)^{2}=$$

$$\left(\begin{array}{cccc}
3 & 9 & 0 & -18\\
1 & 3 & 0 & -6\\
3 & 9 & 0 & -18\\
1 & 3 & 0 & -6
\end{array}\right)\neq\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),$$

значит реализуется второй вариант:

$$J_{A}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right).$$

==== 41.10. ====
Найти жорданову форму матрицы линейного оператора $A$ и базис
$(f_{1},\ldots,f_{n}),$ в котором $A$ имеет эту матрицу, если в
базисе $(e_{1},\ldots,e_{n})$ оператор $A$ задается матрицей:

=== а) ===
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -3\\
4 & 10 & -12\\
3 & 6 & -7
\end{array}\right).$$

-----

Характеристический многочлен 

$$\det(A-\lambda E)=-(\lambda-2)^{3}$$

$$A-2E=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -3\\
4 & 8 & -12\\
3 & 6 & -9
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\ \hline
1 & 2 & -3\\
4 & 8 & -12\\
3 & 6 & -9
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1\\ \hline
1 & 0 & 0\\
4 & 0 & 0\\
3 & 0 & 0
\end{array}\right).$$

Образ преобразования: $\text{Im}(A-2E)=\left\langle (1,4,3)^{T}\right\rangle $,

ядро: $\ker(A-2E)=\left\langle (-2,1,0)^{T},(1,1,1)^{T}\right\rangle $.

При этом образ лежит в ядре: $\text{Im}(A-2E)\subset\ker(A-2E),$тогда
в качестве нового базисв выберем $f_{2}=(1,0,0)^{T};f_{1}=Af_{2}$
и произвольный линейнонезависмый от $f_{1}$ вектор лежащий в ядре $f_{3}=(-2,1,0)^{T}.$
Матрица перехода к Жордановой матрице $T=(f_{1},f_{2},f_{3})$.

Жорданова форма:

$$J=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{array}\right).$$

=== б) === 
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1\\
-3 & -3 & 3\\
-2 & -2 & 2
\end{array}\right).$$

-----

Характеристический многочлен 

$$\det(A-\lambda E)=-\lambda^{3}.$$

$$A-0E=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1\\
-3 & -3 & 3\\
-2 & -2 & 2
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\ \hline
1 & 0 & 0\\
-3 & 0 & 0\\
-2 & 0 & 0
\end{array}\right).$$

Базис $f_{2}=(1,0,0)^{T};f_{1}=Af_{2}=(1,-3,-2)^{T};f_{3}=(-1,1,0)$
(или $f_{3}=(1,0,1)$ или любой другой линейно независимый от $f_{1},f_2$).

Матрица перехода к Жордановой матрице $T=(f_{1},f_{2},f_{3})$.

Жорданова форма:

$$J=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right).$$

====17.7. ====
Вычислить степени квадратной матрицы

$$H_{n}=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right).$$ 

-----

При умножении $H_{n}H_{n}$ диагональные единицы смещаются в сторону
верхнего правого угла. Так, что при $H_{n}^{n-1}$ останется только
одна единица в правом верхнем углу. При $H_{n}^{n}=0.$

==== 17.8. ==== 
Пусть задана квадратная матрица

$$J=\left(\begin{array}{ccccc}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \lambda & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda
\end{array}\right)$$ 

размера $n$. Доказать, что если $f(x)$ --- многочлен, то

$$f(\lambda)=\left(\begin{array}{ccccc}
f(\lambda) & \frac{f'(\lambda)}{1!} & \frac{f''(\lambda)}{2!} & \cdots & \frac{f^{(n-1)}(\lambda)}{(n-1)!}\\
0 & f(\lambda) & \frac{f'(\lambda)}{1!} & \cdots & \frac{f^{(n-2)}(\lambda)}{(n-2)!}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{f'(\lambda)}{1!}\\
0 & 0 & 0 & \cdots & f(\lambda)
\end{array}\right).$$

-----

Рассмотрим случай

$$J=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda & 1 & 0\\
0 & \lambda & 1\\
0 & 0 & \lambda
\end{array}\right)=\lambda E+\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)=\lambda E+S,$$ 

тогда 
$$J^{2}=\left(\lambda E+S\right)^{2}=\lambda^{2}E+2\lambda S+S^{2}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda^{2} & 2\lambda & 1\\
0 & \lambda^{2} & 2\lambda\\
0 & 0 & \lambda^{2}
\end{array}\right),$$ 

$$J^{3}=\left(\lambda E+S\right)^{3}=\lambda^{3}E+3\lambda^{2}S+3\lambda S^{2}+S^{3}=$$

$$\lambda^{3}E+3\lambda^{2}S+3\lambda S^{2}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda^{3} & 3\lambda^{2} & 3\lambda\\
0 & \lambda^{3} & 3\lambda^{2}\\
0 & 0 & \lambda^{3}
\end{array}\right)$$ 

и 
$$J^{n}=\left(\lambda E+S\right)^{n}=\lambda^{n}E+n\lambda^{n-1}S+\frac{n(n-1)}{2!}\lambda^{n-2}S^{2}=$$ 

$$\left(\begin{array}{ccc}
\lambda^{n} & n\lambda^{n-1} & \frac{n(n-1)}{2!}\lambda^{n-2}\\
0 & \lambda^{n} & n\lambda^{n-1}\\
0 & 0 & \lambda^{n}
\end{array}\right)$$ 
при $n\geqslant3$.
Тогда для многочлена $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots$
запишем

$$f(J)=Ea_{0}+a_{1}J+a_{2}J^{2}+a_{3}J^{3}+\ldots=$$

$$\left(\begin{array}{ccc}
a_{0} & 0 & 0\\
0 & a_{0} & 0\\
0 & 0 & a_{0}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}
a_{1}\lambda & a_{1} & 0\\
0 & a_{1}\lambda & a_{1}\\
0 & 0 & a_{1}\lambda
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}
a_{2}\lambda^{2} & a_{2}2\lambda & a_{2}\\
0 & a_{2}\lambda^{2} & a_{2}2\lambda\\
0 & 0 & a_{2}\lambda^{2}
\end{array}\right)+$$

$$\left(\begin{array}{ccc}
a_{3}\lambda^{3} & a_{3}3\lambda^{2} & a_{3}3\lambda\\
0 & a_{3}\lambda^{3} & a_{3}3\lambda^{2}\\
0 & 0 & a_{3}\lambda^{3}
\end{array}\right)+\ldots+\left(\begin{array}{ccc}
a_{n}\lambda^{n} & a_{n}n\lambda^{n-1} & a_{n}\frac{n(n-1)}{2!}\lambda^{n-2}\\
0 & a_{n}\lambda^{n} & a_{n}n\lambda^{n-1}\\
0 & 0 & a_{n}\lambda^{n}
\end{array}\right).$$

На диагонали 
$$a_{0}+a_{1}\lambda+a_{2}\lambda^{2}+a_{3}\lambda^{3}+\ldots+a_{n}\lambda^{n}=f(\lambda),$$

над диагональю 
$$a_{1}+a_{2}2\lambda+a_{3}3\lambda^{2}+\ldots+a_{n}n\lambda^{n-1}=f'(\lambda)$$

и в углу $$a_{2}+a_{3}3\lambda+\ldots+a_{n}\frac{n(n-1)}{2!}\lambda^{n-2}=\frac{f''(\lambda)}{2!}.$$

Общий случай получается аналогично.

==== 17.10. ==== 
Вычислить $e^{A}$, где

=== a) === 
$$A=\left(\begin{array}{cc}
2 & 1\\
-4 & -2
\end{array}\right).$$

-----

Запишем характеристический многочлен
$|A-Ex|=x^{2}$.

$$A\to\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1\\ \hline
2 & 1\\
-4 & -2
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
-2 & 1\\ \hline
0 & 1\\
0 & -2
\end{array}\right),$$

тогда матрица перехода к жордановой 
$$T=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
-2 & 1
\end{array}\right)$$ 
и 
$$
A=TJT^{-1}=T\left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right)T^{-1}.
$$

Найдём степени матрицы: 
$$A^{2}=TJT^{-1}TJT^{-1}=TJ^{2}T^{-1},$$ 
далее
$$A^{n}=A^{n-1}A=TJ^{n-1}T^{-1}TJT^{-1}=TJ^{n}T^{-1}.$$ 
Получается, что достаточно знать степени жордановой матрицы и матрицу перехода что бы вычислить степень экспоненты:

$$e^{A}=E+A+\frac{1}{2!}A^{2}+\ldots+\frac{1}{n!}A^{n}+\ldots=$$

$$T\left(E+J+\frac{1}{2!}J^{2}+\ldots+\frac{1}{n!}J^{n}+\ldots\right)T^{-1}=$$

$$T\left(\begin{array}{cc}
e^{\lambda} & \left(e^{\lambda}\right)'\\
0 & e^{\lambda}
\end{array}\right)T^{-1}=T\left(\begin{array}{cc}
e^{0} & e^{0}\\
0 & e^{0}
\end{array}\right)T^{-1}=$$

$$T\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 1
\end{array}\right)T^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
3 & 1\\
-4 & -1
\end{array}\right).$$

=== б) ===

$$A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 6\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)$$

-----

Вырожденный корень $\lambda=0$.

Если как и раньше начнём искать ядро 
$$A\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\ \hline
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 6\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right),$$ то увидим, что геометрическая размерность $1,$ а алгебраическая
$3$. В итоге найдём новый базис 
$$f_{3}=e_{3};f_{2}=Af_{3}=(2,6,0)^{T};f_{1}=Af_{2}=A^2f_{3}=(6,0,0)^{T}.$$

Матрица преобразования 
$$T=(f_{1},f_{2},f_{3})=\left(\begin{array}{ccc}
6 & 2 & 0\\
0 & 6 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).$$

А выражение
$$e^{A}=T\left(\begin{array}{ccc}
e^{\lambda} & \left(e^{\lambda}\right)' & \frac{\left(e^{\lambda}\right)''}{2!}\\
0 & e^{\lambda} & \left(e^{\lambda}\right)'\\
0 & 0 & e^{\lambda}
\end{array}\right)T^{-1}=T\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & \frac{1}{2}\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)T^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 5\\
0 & 1 & 6\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).$$