==== 34.10. ====
Пусть векторы $e_1,e_2,e_3$ и $\mathbf x$ заданы своими координатами
в некотором базисе:

а)
$e_{1}=(1,1,1);e_{2}=(1,1,2);e_{3}=(1,2,3);{\mathbf x}=(6,9,14)$.

-----
[[math:34-10|Решение]]
==== 34.12. ====
Доказать, что в пространстве $\mathbb{R}[x]_{n}$ многочленов
степени $\leq n$ с вещественными коэффициентами системы $\left\{ 1,x,\ldots,x^{n}\right\} $
и $\left\{ 1,x-a,\ldots,\left(x-a\right)^{n}\right\} $, $a\in\mathbb{R}$,
являются базисами, и найти координаты многочлена $f(x)=a_{0}+xa_{1}+\ldots+x^{n}a_{n}$
в этих базисах и матрицу перехода от первого базиса ко второму.

-----
[[math:34-12|Решение]]

==== 35.2. ====
Доказать, что следующие совокупности векторов пространства $F^{n}$, $F$ --- поле, образуют подпространства, и найти их базисы и размерности: 

а) векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты; 

б) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны $0$; 

в) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны между собой; 

г) векторы вида $(\alpha,\beta,\alpha,\beta,\ldots)$; 

д) векторы, являющиеся решениями однородной системы уравнений.

==== 35.3. ====
Выяснить, какие из следующих совокупностей матриц порядка $n$ над полем $F$ образуют подпространства в пространстве матриц $M_{n}(F)$, найти их базисы и размерности: 

а) все матрицы; 

б) симметрические матрицы; 

в) кососимметрические матрицы; 

г) невырожденные матрицы; 

д) вырожденные матрицы; 

е) матрицы со следом, равным нулю; 

ж) матрицы, перестановочные с данным множеством матриц (при вычислении базиса и размерности предположить, что данное множество матриц состоит из одной диагональной матрицы с различными диагональными элементами); 

з) матрицы $X$, удовлетворяющие условию $A_{i}X+XB_{i}$, где $A_{i},B_{i}$ --- заданный набор матриц.

==== 35.4. ====
Пусть $\mathbb{R}^{s}$ пространство всех функций, определенных на множестве $S$ и принимающих вещественные значения. Выяснить, какие из следующих совокупностей функций $f(x)\in\mathbb{R}^{s}$ составляют подпространство: 

а) функции, принимающие значение $a$ в данной точке $s\in S$; 

б) функции, принимающие значение $a4 во всех точках некоторого подмножества $T\subseteq S$; 

в) функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества $S$; 

г) функции, имеющие предел a при $x\to\infty$ (при $S=\mathbb{R}$); 

д) функции, имеющие не более конечного числа точек разрыва (при $S=\mathbb{R}$).

==== 35.5. ==== 
Пусть $K^{\infty}$ пространство бесконечных последовательностей с элементами из поля $K$. Выяснить, какие из следующих совокупностей последовательностей составляют в $K^{\infty}$ подпространство: 

а) последовательности, в которых лишь конечное число элементов отлично от нуля; 

б) последовательности, в которых лишь конечное число элементов равно нулю; 

в) последовательности, в которых все элементы отличны от $1$.


==== 35.15. ====
Найти базисы суммы и пересечения линейных оболочек $(a_{1},a_{2},a_{3})$
и $(b_{1},b_{2},b_{3})$:

а)

$$\left\{ \begin{array}{c}
a_{1}=(1,2,1)\\
a_{2}=(1,1,-1)\\
a_{3}=(1,3,3)
\end{array}\right., \ \ \left\{ \begin{array}{c}
b_{1}=(1,2,2)\\
b_{2}=(2,3,-1)\\
b_{3}=(1,1,-3)
\end{array}\right.$$

-----

[[math:35-15|Решение]]
==== 35.18. ====
Пусть подпространства $U,V\in\mathbb{R}^{n}$ заданы уравнениями 

$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=0$, $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}$. Доказать,
что $U\oplus V=\mathbb{R}^{n}$, и найти проекции единичных векторов
на $U$ параллельно $V$ и $V$ параллельно $U$.
-----

[[math:35-18|Решение]]
==== 35.19. ====
Пусть в пространстве $\mathbb{R}^{4}$: 
$$
U=\left\langle (1,1,1,1),(-1,-2,0,1)\right\rangle , V=\left\langle (-1,-1,1,-1),(2,2,0,1)\right\rangle .
$$
Доказать, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, и найти проекцию вектора $\boldsymbol{x}=(4,2,4,4)$ на подпространство $U$ параллельно $V$.

-----
[[math:35-19|Решение]]

==== 35.22. ====
Пусть $U$ --- подпространство кососимметрических матриц, $V$ --- подпространство верхнетреугольных матриц в $M_{n}(\mathbb{R})$. 

а) Доказать, что $U\oplus V=M_{n}(\mathbb{R})$. 

6) Найти проекцию матриц $E_{ij}$ на $U$ и $V$.

==== 34.1. ==== 
Пусть $x,y$ --- векторы, а $\alpha,\beta$ --- скаляры. Доказать, что: 

а) $\alpha x=0$ тогда и только тогда, когда $\alpha=0$ или $x=0$; 

б) $\alpha x+\beta y=\beta x+\alpha y$ тогда и только тогда, когда $\alpha=\beta$ или $x=y$. 

==== 34.2. ====
При каких значениях $\lambda$:

а) из линейной независимости системы векторов $\left\{ a_{1},a_{2}\right\}$  вытекает линейная независимость системы $\left\{ \lambda a_{1}+a_{2},a_{1}+\lambda a_{2}\right\}$; 

б) из линейной независимости системы $\left\{ a_{1},\ldots,a_{2}\right\}$  вытекает линейная независимость системы $\left\{ a_{1}+a_{2},a_{2}+a_{3},\ldots,a_{n-1}+a_{n},a_{n}+\lambda a_{1}\right\}$?

==== 34.3. ====
Доказать линейную независимость над $\mathbb{R}$ систем функций: 

a) $\sin x,\cos x$; 

б) $1,\sin x,\cos x$; 

в) $\sin x,\sin2x,\ldots,\sin nx$; 

г) $1,\cos x,\cos2x,...,\cos nx$; 

д) $1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,...,\cos nx,\sin nx$;

е) $1,\sin x,\sin^{2}x,\ldots,\sin^{n}x$; 

ж) $1,\cos x,\cos^{2}x,...,\cos^{n}x$.