===== ЛАиГ 7.5. Квадратный корень в алгебраической форме =====

==== Условие задачи ====
Представить комплексное число $\sqrt{-5+5i}$ в алгебраической форме $a+ib$ и изобразить на плоскости.

==== Решение ====
Ищем $z=a+bi$ с $z^2=-5+5i$:
$$a^2-b^2=-5,\qquad 2ab=5.$$
Кроме того, $|z|^2=|z^2|$: $a^2+b^2=\sqrt{25+25}=5\sqrt2$. Складывая и вычитая:
$$a^2=\frac{5\sqrt2-5}2,\qquad b^2=\frac{5\sqrt2+5}2.$$
Из $2ab=5>0$ знаки $a$ и $b$ одинаковы:
$$\sqrt{-5+5i}=\pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{5(\sqrt2-1)}2}+i\sqrt{\tfrac{5(\sqrt2+1)}2}\Bigr)\approx\pm(1{,}018+2{,}457i).$$
Два значения симметричны относительно начала координат: модуль $\sqrt[4]{50}=\sqrt{5\sqrt2}$, аргументы $\frac{3\pi}8$ и $\frac{11\pi}8$ (так как $-5+5i=5\sqrt2e^{3\pi i/4}$).

==== Ответ ====
$\pm\Bigl(\sqrt{\frac{5(\sqrt2-1)}2}+i\sqrt{\frac{5(\sqrt2+1)}2}\Bigr)$.