===== ЛАиГ 6.2. Матричное уравнение =====

==== Условие задачи ====
Решить матричное уравнение
$$\begin{pmatrix}2&1&-1\\-2&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}.$$

==== Решение ====
Уравнение вида $AX=B$, решение $X=A^{-1}B$ (умножаем **слева**).

$\det A$ (разложение по третьему столбцу): $-1\cdot\begin{vmatrix}-2&0\\1&1\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=2-1=1$.

Алгебраические дополнения:
$$A_{11}=-1,\ A_{12}=1,\ A_{13}=-2;\quad A_{21}=-1,\ A_{22}=1,\ A_{23}=-1;\quad A_{31}=1,\ A_{32}=0,\ A_{33}=2.$$
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-1&1\\1&1&0\\-2&-1&2\end{pmatrix}.$$
$$X=\begin{pmatrix}-1&-1&1\\1&1&0\\-2&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&2&0\\2&-1&2\end{pmatrix}.$$
Проверка первого столбца: $A\cdot(1,-1,2)^T=(2-1-2,\ -2+0+2,\ 1-1+0)=(-1,0,0)$.

==== Ответ ====
$X=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&2&0\\2&-1&2\end{pmatrix}$.