===== ЛАиГ 5.1. Несовместная система =====

==== Условие задачи ====
Приведением к ступенчатому виду решить систему линейных уравнений
$$\begin{cases}2x-y+3z=9,\\3x-5y+z=-4,\\4x-7y+z=5.\end{cases}$$

==== Решение ====
Расширенная матрица:
$$\left(\begin{array}{ccc|c}2&-1&3&9\\3&-5&1&-4\\4&-7&1&5\end{array}\right).$$
Из третьей строки вычтем вторую — получим строку с единицей в начале, поставим её первой:
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&0&9\\2&-1&3&9\\3&-5&1&-4\end{array}\right).$$
Из второй вычтем $2\cdot$(1-ю), из третьей $3\cdot$(1-ю):
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&0&9\\0&3&3&-9\\0&1&1&-31\end{array}\right).$$
Вторую строку делим на $3$: $(0,1,1\mid-3)$; вычитаем её из третьей:
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&0&9\\0&1&1&-3\\0&0&0&-28\end{array}\right).$$
Последняя строка означает $0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=-28$ — противоречие. Ранг основной матрицы $2$, расширенной — $3$ (теорема Кронекера–Капелли).

==== Ответ ====
Система несовместна (решений нет).