===== ЛАиГ 4.2. Поворот осей =====

==== Условие задачи ====
Найти связь «старой» и «новой» систем координат, если «новая» система координат получена из старой поворотом оси $OX$ по часовой стрелке до совмещения с прямой $x+y=0$. Найти уравнение прямой $y=\frac12x$ в новой системе координат.

==== Решение ====
При повороте осей на угол $\varphi$ (против часовой стрелки) старые координаты выражаются через новые:
$$x=x'\cos\varphi-y'\sin\varphi,\qquad y=x'\sin\varphi+y'\cos\varphi.$$
Прямая $x+y=0$ — это $y=-x$, её направление $(1,-1)$ получается из оси $OX$ поворотом на $45^\circ$ по часовой стрелке: $\varphi=-\frac\pi4$.
$$x=\frac{x'+y'}{\sqrt2},\qquad y=\frac{-x'+y'}{\sqrt2}.$$
Подставляем в $2y=x$: $2(-x'+y')=x'+y'$, откуда $y'=3x'$.

Проверка: направляющий вектор прямой $(2,1)$ в новом базисе $\mathbf e_1'=\frac1{\sqrt2}(1,-1)$, $\mathbf e_2'=\frac1{\sqrt2}(1,1)$ имеет координаты $\bigl(\frac1{\sqrt2},\frac3{\sqrt2}\bigr)\parallel(1,3)$.

==== Ответ ====
$x=\frac{x'+y'}{\sqrt2}$, $y=\frac{-x'+y'}{\sqrt2}$; уравнение прямой $y'=3x'$.