===== ЛАиГ 3.4.1. Объём параллелепипеда и ориентация =====

==== Условие задачи ====
Даны точки $A(-1,-3,-4)$, $B(2,-3,-3)$, $C(3,0,-1)$, $D(9,2,11)$. Точка $E$ делит отрезок $[A,D]$ в отношении $3:2$. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AE}$, и установить, будет ли эта тройка векторов правой или левой.

==== Решение ====
$AE:ED=3:2$, поэтому $\overrightarrow{AE}=\frac35\overrightarrow{AD}=\frac35(10,5,15)=(6,3,9)$, $E(5,0,5)$.
$$\overrightarrow{AB}=(3,0,1),\qquad \overrightarrow{AC}=(4,3,3),\qquad \overrightarrow{AE}=(6,3,9).$$
Смешанное произведение — определитель из координат (базис ортонормированный и правый):
$$\begin{vmatrix}3&0&1\\4&3&3\\6&3&9\end{vmatrix}=3(27-9)-0+1\cdot(12-18)=54-6=48.$$
Объём равен модулю смешанного произведения, знак «$+$» означает правую тройку.

==== Ответ ====
$V=48$, тройка правая.