===== ЛАиГ 3.2.4. Остроугольный треугольник =====

==== Условие задачи ====
Доказать, что внутренние углы треугольника $ABC$, $A(3,-2,5)$, $B(-2,1,-3)$, $C(5,1,-1)$ острые.

==== Решение ====
Угол при вершине острый тогда и только тогда, когда скалярное произведение векторов, выходящих из этой вершины к двум другим, положительно.
$$\overrightarrow{AB}=(-5,3,-8),\ \overrightarrow{AC}=(2,3,-6):\quad -10+9+48=47>0;$$
$$\overrightarrow{BA}=(5,-3,8),\ \overrightarrow{BC}=(7,0,2):\quad 35+0+16=51>0;$$
$$\overrightarrow{CA}=(-2,-3,6),\ \overrightarrow{CB}=(-7,0,-2):\quad 14+0-12=2>0.$$
Все три угла острые (угол $C$ — почти прямой).

==== Ответ ====
Скалярные произведения $47$, $51$, $2$ — все положительны.