===== ЛАиГ 3.1.3′. Отражение вектора на плоскости =====

==== Условие задачи ====
На плоскости даны векторы $\mathbf a$ и $\mathbf l$, причём $(\mathbf a,\mathbf l)\ne0$. Найти вектор $\mathbf a'$, равный по длине $|2\mathbf a|$ и являющийся зеркальным отражением вектора $\mathbf a$ относительно вектора, ортогонального $\mathbf l$.

==== Решение ====
(В листке семинара у задачи тот же номер 3, что и у предыдущей.)

Отражение относительно прямой, перпендикулярной $\mathbf l$, — это то же самое, что в [[matan:la-3-1-2|3.1.2]] с нормалью $\mathbf n=\mathbf l$: составляющая вдоль $\mathbf l$ меняет знак, перпендикулярная сохраняется:
$$\mathbf a_{\text{отр}}=\mathbf a-2\frac{(\mathbf a,\mathbf l)}{(\mathbf l,\mathbf l)}\,\mathbf l.$$
Отражение сохраняет длину, а нужна длина $2|\mathbf a|$ — умножаем на $2$:
$$\mathbf a'=2\mathbf a-4\frac{(\mathbf a,\mathbf l)}{(\mathbf l,\mathbf l)}\,\mathbf l.$$
Условие $(\mathbf a,\mathbf l)\ne0$ означает, что $\mathbf a$ не лежит на оси симметрии (иначе отражение не меняет направление).

==== Ответ ====
$\mathbf a'=2\mathbf a-\dfrac{4(\mathbf a,\mathbf l)}{|\mathbf l|^2}\,\mathbf l$.