===== Беклемишев 2.37. Параллелограмм: сторона по двум отрезкам =====

==== Условие задачи ====
В параллелограмме $ABCD$ точки $K$ и $L$ — середины сторон $BC$ и $CD$. Найти $|AD|$, если $|AK|=6$, $|AL|=3$, а угол $KAL=\pi/3$.

==== Решение ====
Обозначим $\mathbf b=\overrightarrow{AB}$, $\mathbf d=\overrightarrow{AD}$. Тогда
$$\overrightarrow{AK}=\mathbf b+\tfrac12\mathbf d,\qquad \overrightarrow{AL}=\mathbf d+\tfrac12\mathbf b.$$
Выразим $\mathbf d$: $2\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{AK}=\frac32\mathbf d$, то есть
$$\mathbf d=\frac23\bigl(2\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{AK}\bigr).$$
Известно: $|AK|^2=36$, $|AL|^2=9$, $(\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AL})=6\cdot3\cdot\cos\frac\pi3=9$.
$$|\mathbf d|^2=\frac49\bigl(4|AL|^2-4(\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AL})+|AK|^2\bigr)=\frac49(36-36+36)=16.$$

==== Ответ ====
$|AD|=4$.