===== Беклемишев 2.19. Скалярное произведение в косоугольном базисе =====

==== Условие задачи ====
Длины базисных векторов $\mathbf e_1$ и $\mathbf e_2$ общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно $\sqrt2$ и $1$, а угол между ними равен $45^\circ$. Вычислить длины диагоналей и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты $(2,2)$ и $(-1,4)$.

==== Решение ====
В неортонормированном базисе скалярное произведение считается через **матрицу Грама** $g_{ij}=(\mathbf e_i,\mathbf e_j)$:
$$g_{11}=2,\qquad g_{12}=\sqrt2\cdot1\cdot\cos45^\circ=1,\qquad g_{22}=1,$$
$$(\mathbf x,\mathbf y)=2x_1y_1+(x_1y_2+x_2y_1)+x_2y_2.$$
Векторы $\mathbf a=(2,2)$, $\mathbf b=(-1,4)$; диагонали $\mathbf a+\mathbf b=(1,6)$, $\mathbf a-\mathbf b=(3,-2)$.
$$|\mathbf a+\mathbf b|^2=2+12+36=50,\qquad |\mathbf a-\mathbf b|^2=18-12+4=10.$$
Углы:
$$(\mathbf a,\mathbf b)=2\cdot2\cdot(-1)+(8-2)+8=10,\quad |\mathbf a|^2=8+8+4=20,\quad |\mathbf b|^2=2-8+16=10,$$
$$\cos\varphi=\frac{10}{\sqrt{20}\sqrt{10}}=\frac1{\sqrt2},\qquad \varphi=45^\circ.$$
Ошибка, которую часто делают: считать $(\mathbf a,\mathbf b)=2\cdot(-1)+2\cdot4=6$ «по-школьному» — эта формула верна только в ортонормированном базисе.

==== Ответ ====
Диагонали $5\sqrt2$ и $\sqrt{10}$; углы $45^\circ$ и $135^\circ$.