===== Беклемишев 1.31. Точка на прямой на заданном расстоянии =====

==== Условие задачи ====
Даны две точки $A(3,-2)$ и $B(1,4)$. Точка $M$ лежит на прямой $AB$, причём $|AM|=3|AB|$. Найти координаты точки $M$, если:
1) $M$ лежит по ту же сторону от точки $A$, что и точка $B$;
2) $M$ и $B$ лежат по разные стороны от точки $A$.

==== Решение ====
$\overrightarrow{AB}=(1-3,\ 4+2)=(-2,6)$. Точка $M$ лежит на прямой $AB$, поэтому $\overrightarrow{AM}=t\,\overrightarrow{AB}$, а из $|AM|=3|AB|$ следует $|t|=3$.

1) Та же сторона: $t=3$, $M=A+3\overrightarrow{AB}=(3-6,\ -2+18)=(-3,16)$.

2) Разные стороны: $t=-3$, $M=A-3\overrightarrow{AB}=(3+6,\ -2-18)=(9,-20)$.

==== Ответ ====
1) $(-3,16)$; 2) $(9,-20)$.