===== Беклемишев 1.14. Треугольник: медианы =====

==== Условие задачи ====
В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина отрезка $AB$ и точка $O$ — точка пересечения медиан. Принимая за базисные векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, найти в этом базисе координаты векторов $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{MO}$.

==== Решение ====
Обозначим $\mathbf b=\overrightarrow{AB}$, $\mathbf c=\overrightarrow{AC}$.
$$\overrightarrow{AM}=\frac12\mathbf b.$$
Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Медиана из $A$ идёт в середину $BC$, $\overrightarrow{AA_1}=\frac12(\mathbf b+\mathbf c)$, поэтому
$$\overrightarrow{AO}=\frac23\cdot\frac12(\mathbf b+\mathbf c)=\frac13\mathbf b+\frac13\mathbf c.$$
$$\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AM}=-\frac16\mathbf b+\frac13\mathbf c.$$
(Проверка: $\overrightarrow{MO}=\frac13\overrightarrow{MC}=\frac13(\mathbf c-\frac12\mathbf b)$ — то же самое.)

==== Ответ ====
$\overrightarrow{AM}(\frac12,0)$, $\overrightarrow{AO}(\frac13,\frac13)$, $\overrightarrow{MO}(-\frac16,\frac13)$.