===== 4.7.7. Площадь фигуры $M=\{y\le\sin(\pi x/4),\ y\ge -(x-2)^2/2+1/4,\ y\ge0\}$ =====

==== Условие задачи ====
Посчитать площадь фигуры
$$ M=\left\{(x,y):\ y\le \sin\frac{\pi x}{4},\ \ y\ge -\frac{(x-2)^2}{2}+\frac14,\ \ y\ge0\right\}. $$

==== Решение ====
=== Анализ формы области ===
Обозначим $f(x)=\sin\dfrac{\pi x}{4}$ (верхняя граница) и $g(x)=-\dfrac{(x-2)^2}{2}+\dfrac14$ (парабола ветвями вниз, вершина в точке $(2,\,1/4)$).

Для фиксированного $x$ допустимые $y$ — это отрезок $\big[\max(0,g(x)),\ f(x)\big]$, причём он непуст только когда $f(x)\ge \max(0,g(x))$.

**Где $f(x)\ge0$.** $f(x)=\sin(\pi x/4)\ge0$, когда $\pi x/4\in[2\pi k,\pi+2\pi k]$, т.е. на промежутках $x\in[8k,\,8k+4]$, $k\in\mathbb Z$. Функция $\sin(\pi x/4)$ периодична с периодом $8$, поэтому таких "арок", где в принципе может лежать фигура ($y\ge0$ и $y\le f(x)$), бесконечно много — по одной на каждый период. Однако парабола $g(x)$ ограничена и положительна только на одном конечном промежутке (см. ниже), поэтому только *одна* из этих арок — та, что содержит вершину параболы $x=2$, т.е. арка $x\in[0,4]$ — "взаимодействует" с параболой; на всех остальных арках $g(x)<0$ и нижняя граница там попросту $y=0$. Далее рассматриваем именно эту, содержательную связную часть фигуры (естественная трактовка условия "фигура $M$" как связной ограниченной области; остальные арки дают точно такие же по форме, но не имеющие отношения к параболе куски).

**Где $g(x)>0$.** Решаем $-\dfrac{(x-2)^2}{2}+\dfrac14>0 \iff (x-2)^2<\dfrac12 \iff |x-2|<\dfrac{1}{\sqrt2}$.
$$ a = 2-\frac{1}{\sqrt2}\approx1{,}2929, \qquad b = 2+\frac{1}{\sqrt2}\approx2{,}7071. $$
Вне отрезка $[a,b]$ имеем $g(x)\le0$, значит там нижняя граница $\max(0,g(x))=0$. Внутри $(a,b)$ нижняя граница равна $g(x)$.

Проверим, что на $(a,b)$ парабола не "пробивает" верхнюю границу, т.е. $f(x)>g(x)$: максимум $g$ равен $1/4$ (в $x=2$), а на всём отрезке $[a,b]$ значения $f(x)=\sin(\pi x/4)$ не меньше $f(a)=f(b)=\sin\!\left(\dfrac{\pi(2\mp1/\sqrt2)}{4}\right)\approx0{,}850$ (так как на $[0,4]$ функция $f$ имеет единственный максимум в $x=2$ и убывает к краям, на внутреннем отрезке $[a,b]$ её минимум как раз на концах). Значит $f(x)\ge0{,}85 > 1/4\ge g(x)$ всюду на $[a,b]$ — граница $g$ нигде не превышает $f$, дополнительных точек пересечения искать не нужно.

**Итого**, на связной арке $x\in[0,4]$:
$$ \text{высота сечения}(x)=\begin{cases} f(x)-0, & x\in[0,a)\cup(b,4],\\ f(x)-g(x), & x\in[a,b]. \end{cases} $$

Так как на $[a,b]$ мы просто вычитаем ещё и $g(x)$ (по сравнению со "сплошной аркой"), площадь фигуры удобно записать как
$$ S = \int_0^4 f(x)\,dx \ -\ \int_a^b g(x)\,dx. $$

=== Вычисление $\int_0^4 f(x)\,dx$ ===
$$ \int_0^4 \sin\frac{\pi x}{4}\,dx = \left[-\frac{4}{\pi}\cos\frac{\pi x}{4}\right]_0^4 = -\frac4\pi\cos\pi-\left(-\frac4\pi\cos0\right) = \frac4\pi+\frac4\pi = \frac{8}{\pi}. $$

=== Вычисление $\int_a^b g(x)\,dx$ ===
Сделаем замену $s=x-2$, тогда пределы становятся симметричными: $s\in\left[-\frac{1}{\sqrt2},\,\frac{1}{\sqrt2}\right]$, и $g=-\dfrac{s^2}{2}+\dfrac14$ — чётная функция от $s$:
$$ \int_a^b g\,dx = \int_{-1/\sqrt2}^{1/\sqrt2}\left(-\frac{s^2}{2}+\frac14\right)ds = 2\int_0^{1/\sqrt2}\left(-\frac{s^2}{2}+\frac14\right)ds = 2\left[-\frac{s^3}{6}+\frac{s}{4}\right]_0^{1/\sqrt2}. $$

При $s=\dfrac{1}{\sqrt2}$: $s^3=\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{4}$, поэтому $\dfrac{s^3}{6}=\dfrac{\sqrt2}{24}$, а $\dfrac{s}{4}=\dfrac{1}{4\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{8}$.

$$ -\frac{\sqrt2}{24}+\frac{\sqrt2}{8} = -\frac{\sqrt2}{24}+\frac{3\sqrt2}{24}=\frac{2\sqrt2}{24}=\frac{\sqrt2}{12}. $$

Умножаем на $2$:
$$ \int_a^b g(x)\,dx = \frac{\sqrt2}{6}. $$

(Заметим: хотя сами точки пересечения $a=2-1/\sqrt2$, $b=2+1/\sqrt2$ — иррациональные числа, интеграл от параболы по симметричному промежутку выражается точно и красиво, никаких численных приближений для итогового ответа не требуется.)

=== Итоговая площадь ===
$$ S = \frac{8}{\pi} - \frac{\sqrt2}{6}. $$

Численно: $\dfrac8\pi\approx2{,}5465$, $\dfrac{\sqrt2}{6}\approx0{,}2357$, значит $S\approx2{,}3108$.

==== Ответ ====
$$ \boxed{S = \frac{8}{\pi}-\frac{\sqrt2}{6}\approx2{,}3108} $$

Точки пересечения параболы с осью $Ox$ (и, соответственно, границы, где включается "вырез" параболой): $x=2\pm\dfrac{1}{\sqrt2}\approx1{,}293$ и $2{,}707$ — числа иррациональные, но благодаря симметрии параболы относительно $x=2$ итоговая площадь выражается точной замкнутой формулой.