===== 4.6.2. Интеграл $\int \dfrac{x}{(x-2)(x-3)}\,dx$ =====

==== Условие задачи ====
Вычислить $\displaystyle\int \frac{x}{(x-2)(x-3)}\,dx$.

==== Решение ====
Разлагаем на простейшие дроби:
$$ \frac{x}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}. $$

Приводим к общему знаменателю: $x = A(x-3)+B(x-2)$.

Подставляем:
- $x=2$: $\ 2 = -A \Rightarrow A=-2$.
- $x=3$: $\ 3 = B \Rightarrow B=3$.

Значит
$$ \frac{x}{(x-2)(x-3)} = \frac{-2}{x-2}+\frac{3}{x-3}. $$

Интегрируем почленно:
$$ \int \frac{x}{(x-2)(x-3)}\,dx = -2\ln|x-2| + 3\ln|x-3| + C. $$

==== Ответ ====
$$ \boxed{\int \frac{x}{(x-2)(x-3)}\,dx = -2\ln|x-2| + 3\ln|x-3| + C} $$