===== 4.5.13*. Интеграл $\int \cos^2\sqrt x\,dx$ (понижение степени + замена + по частям) =====

Задача повышенной сложности.

==== Условие задачи ====
Вычислить $\displaystyle\int \cos^2\sqrt x\,dx$.

==== Решение ====
**Шаг 1. Понижаем степень косинуса.** По формуле $\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$ (с $\theta=\sqrt x$):
$$ I = \int \cos^2\sqrt x\,dx = \int \frac{1+\cos(2\sqrt x)}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac12\int \cos(2\sqrt x)\,dx. $$

**Шаг 2. Замена в оставшемся интеграле.** Пусть $u=\sqrt x$, $x=u^2$, $dx=2u\,du$:
$$ K=\int \cos(2\sqrt x)\,dx = \int \cos(2u)\cdot2u\,du = 2\int u\cos2u\,du. $$

**Шаг 3. По частям.** $p=u$, $dv=\cos2u\,du$, тогда $dp=du$, $v=\dfrac{\sin2u}{2}$:
$$ \int u\cos2u\,du = \frac{u\sin2u}{2} - \int \frac{\sin2u}{2}\,du = \frac{u\sin2u}{2} + \frac{\cos2u}{4} + C. $$

Значит
$$ K = 2\left(\frac{u\sin2u}{2}+\frac{\cos2u}{4}\right)+C = u\sin2u + \frac{\cos2u}{2} + C. $$

Возвращаемся к $x$ ($u=\sqrt x$):
$$ K = \sqrt x\sin(2\sqrt x) + \frac{\cos(2\sqrt x)}{2} + C. $$

**Итог.**
$$ I = \frac{x}{2} + \frac12\left(\sqrt x\sin(2\sqrt x)+\frac{\cos(2\sqrt x)}{2}\right) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sqrt x}{2}\sin(2\sqrt x) + \frac14\cos(2\sqrt x) + C. $$

==== Ответ ====
$$ \boxed{\int \cos^2\sqrt x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sqrt x}{2}\sin(2\sqrt x) + \frac14\cos(2\sqrt x) + C} $$