===== 4.5.12*. Интеграл $\int x^2e^{\sqrt x}\,dx$ (замена + многократно по частям) =====

Задача повышенной сложности.

==== Условие задачи ====
Вычислить $\displaystyle\int x^2e^{\sqrt x}\,dx$.

==== Решение ====
**Замена.** Пусть $u=\sqrt x$, тогда $x=u^2$, $dx=2u\,du$, $x^2=u^4$:
$$ \int x^2e^{\sqrt x}\,dx = \int u^4e^u\cdot 2u\,du = 2\int u^5e^u\,du. $$

**Многократное интегрирование по частям (табличным способом).** Дифференцируем $u^5$ до нуля, интегрируем $e^u$:

| производные $u^5$ | интегралы $e^u$ |
| $u^5$ | $e^u$ |
| $5u^4$ | $e^u$ |
| $20u^3$ | $e^u$ |
| $60u^2$ | $e^u$ |
| $120u$ | $e^u$ |
| $120$ | $e^u$ |
| $0$ | $e^u$ |

По формуле табличного интегрирования по частям (знаки чередуются):
$$ \int u^5e^u\,du = e^u\left(u^5-5u^4+20u^3-60u^2+120u-120\right)+C. $$

(Проверяется прямым дифференцированием: производная скобки за вычетом самой скобки даёт ровно $u^5$.)

Тогда
$$ 2\int u^5e^u\,du = 2e^u\left(u^5-5u^4+20u^3-60u^2+120u-120\right)+C. $$

Возвращаемся к $x$ ($u=\sqrt x$, $u^2=x$, $u^3=x^{3/2}$, $u^4=x^2$, $u^5=x^{5/2}$):
$$ \int x^2e^{\sqrt x}\,dx = 2e^{\sqrt x}\left(x^{5/2}-5x^2+20x^{3/2}-60x+120\sqrt x-120\right)+C. $$

==== Ответ ====
$$ \boxed{\int x^2e^{\sqrt x}\,dx = 2e^{\sqrt x}\left(x^{5/2}-5x^2+20x^{3/2}-60x+120\sqrt x-120\right)+C} $$