===== 4.3.9*. Занесение dx/√x под знак d(√x) =====
Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

==== Условие задачи ====
$$\int \dfrac{dx}{(1+x)\sqrt x}$$

==== Решение ====
Так как $d(\sqrt x)=\dfrac{dx}{2\sqrt x}$, то $\dfrac{dx}{\sqrt x}=2\,d(\sqrt x)$. Пусть $u=\sqrt x$, тогда $1+x=1+u^2$:
$$\int\frac{dx}{(1+x)\sqrt x}=\int\frac{2\,du}{1+u^2}=2\,\mathrm{arctg}\,u+C=2\,\mathrm{arctg}\sqrt x+C.$$

==== Ответ ====
$$\boxed{2\,\mathrm{arctg}\sqrt x+C}$$