===== 4.3.2. Занесение x²dx под знак d(1+x³) =====

==== Условие задачи ====
$$\int x^2\sqrt[3]{1+x^3}\,dx$$

==== Решение ====
Так как $d(1+x^3)=3x^2\,dx$, то $x^2\,dx=\dfrac13\,d(1+x^3)$:
$$\int x^2\sqrt[3]{1+x^3}\,dx=\frac13\int(1+x^3)^{1/3}\,d(1+x^3)=\frac13\cdot\frac34(1+x^3)^{4/3}+C=\frac14(1+x^3)^{4/3}+C.$$

==== Ответ ====
$$\boxed{\dfrac14\sqrt[3]{(1+x^3)^4}+C}$$