===== 4.2.9. Замена u=e^x =====

==== Условие задачи ====
$$\int \dfrac{dx}{e^x+e^{-x}}$$

==== Решение ====
Пусть $u=e^x$, $du=e^x\,dx$, откуда $dx=\dfrac{du}u$. Знаменатель:
$$e^x+e^{-x}=u+\frac1u=\frac{u^2+1}u.$$
Тогда
$$\int\frac{dx}{e^x+e^{-x}}=\int\frac{du/u}{(u^2+1)/u}=\int\frac{du}{u^2+1}=\mathrm{arctg}\,u+C=\mathrm{arctg}(e^x)+C.$$

==== Ответ ====
$$\boxed{\mathrm{arctg}(e^x)+C}$$