===== 4.2.6. Выделение полного квадрата, логарифм =====

==== Условие задачи ====
$$\int \dfrac{dx}{-4x^2-16x+9}$$

==== Решение ====
Выделяем полный квадрат:
$$-4x^2-16x+9=-4(x^2+4x)+9=-4\left[(x+2)^2-4\right]+9=25-4(x+2)^2.$$
Обозначим $u=2(x+2)=2x+4$ ($du=2\,dx$). Знаменатель $25-u^2$ обращается в нуль при $u=\pm5$, т.е. при $x=-4{,}5$ и $x=0{,}5$: между этими корнями (парабола вниз) знаменатель положителен, вне их — отрицателен. Формула с модулем под логарифмом автоматически годится для обеих частей области определения, поэтому отдельного разбора случаев не требуется:
$$\int\frac{dx}{25-4(x+2)^2}=\frac12\int\frac{du}{25-u^2}=\frac12\cdot\frac1{10}\ln\left|\frac{5+u}{5-u}\right|+C=\frac1{20}\ln\left|\frac{5+u}{5-u}\right|+C.$$
Подставляем $u=2x+4$: $5+u=2x+9$, $5-u=1-2x$.

==== Ответ ====
$$\boxed{\dfrac1{20}\ln\left|\dfrac{2x+9}{1-2x}\right|+C}$$