===== 4.2.12*. sin⁴x/cos⁶x через tg x =====
Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

==== Условие задачи ====
$$\int \dfrac{\sin^4x}{\cos^6x}\,dx$$

==== Решение ====
Запишем подынтегральное выражение через $\mathrm{tg}\,x$ и $\dfrac1{\cos^2x}$:
$$\frac{\sin^4x}{\cos^6x}=\frac{\sin^4x}{\cos^4x}\cdot\frac1{\cos^2x}=\mathrm{tg}^4x\cdot\frac1{\cos^2x}.$$
Пусть $u=\mathrm{tg}\,x$, тогда $du=\dfrac{dx}{\cos^2x}$:
$$\int\mathrm{tg}^4x\cdot\frac{dx}{\cos^2x}=\int u^4\,du=\frac{u^5}5+C=\frac{\mathrm{tg}^5x}5+C.$$

==== Ответ ====
$$\boxed{\dfrac{\mathrm{tg}^5x}5+C}$$