===== 4.1.9. Разложение по формуле суммы кубов =====

==== Условие задачи ====
$$\int \dfrac{1+e^{3x}}{1+e^x}\,dx$$

==== Решение ====
Заметим, что $1+e^{3x}$ — сумма кубов: $1+e^{3x}=1^3+(e^x)^3=(1+e^x)(1-e^x+e^{2x})$.
Сокращаем дробь на $1+e^x$:
$$\frac{1+e^{3x}}{1+e^x}=1-e^x+e^{2x}.$$
Интегрируем почленно:
$$\int\left(1-e^x+e^{2x}\right)dx=x-e^x+\frac12e^{2x}+C.$$

==== Ответ ====
$$\boxed{x-e^x+\dfrac12e^{2x}+C}$$