===== 4.1.6. Тождество sin²x+cos²x=1 в знаменателе =====

==== Условие задачи ====
$$\int \dfrac{dx}{\sin^2x\cos^2x}$$

==== Решение ====
Представим единицу в числителе как $\sin^2x+\cos^2x$:
$$\frac1{\sin^2x\cos^2x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x}=\frac1{\cos^2x}+\frac1{\sin^2x}.$$
Оба слагаемых — табличные интегралы:
$$\int\left(\frac1{\cos^2x}+\frac1{\sin^2x}\right)dx=\mathrm{tg}\,x-\mathrm{ctg}\,x+C.$$

==== Ответ ====
$$\boxed{\mathrm{tg}\,x-\mathrm{ctg}\,x+C}$$