===== 3.2.7*. Приближение функции $\sin(x+1)$ (4-й порядок) =====

==== Условие задачи ====
Задача повышенной сложности (со звёздочкой). Используя таблицу приближений Маклорена, найти полином четвёртого порядка, приближающий функцию $f(x)=\sin(x+1)$ в окрестности точки $x_0=0$ (то есть ряд для $\sin(1+x)$ по степеням $x$).

==== Решение ====
Применим формулу синуса суммы:
$$\sin(x+1)=\sin1\cos x+\cos1\sin x.$$

Разложим $\cos x$ и $\sin x$ по Маклорену до четвёртого порядка:
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\ldots,\qquad \sin x=x-\frac{x^3}{6}+\ldots$$

Подставим:
$$\sin(x+1)=\sin1\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\right)+\cos1\left(x-\frac{x^3}{6}\right)+\ldots$$
$$=\sin1+\cos1\cdot x-\frac{\sin1}{2}x^2-\frac{\cos1}{6}x^3+\frac{\sin1}{24}x^4+\ldots$$

Численно ($\sin1\approx0{,}8415$, $\cos1\approx0{,}5403$):
$$P_4(x)\approx0{,}8415+0{,}5403x-0{,}4207x^2-0{,}0901x^3+0{,}0351x^4.$$

==== Ответ ====
$$\boxed{P_4(x)=\sin1+\cos1\cdot x-\frac{\sin1}{2}x^2-\frac{\cos1}{6}x^3+\frac{\sin1}{24}x^4.}$$