===== 3.2.6. Приближение функции $\ln(1+x/2)$ (4-й порядок) =====

==== Условие задачи ====
Используя таблицу приближений Маклорена, найти полином четвёртого порядка, приближающий функцию $f(x)=\ln\left(1+\dfrac{x}{2}\right)$ в окрестности точки $x_0=0$.

==== Решение ====
Табличное разложение:
$$\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}-\frac{u^4}{4}+\ldots$$
Подставим $u=\dfrac{x}{2}$:
$$\ln\left(1+\frac{x}{2}\right)=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{4}+\frac13\cdot\frac{x^3}{8}-\frac14\cdot\frac{x^4}{16}+\ldots=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{24}-\frac{x^4}{64}+\ldots$$

==== Ответ ====
$$\boxed{P_4(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{24}-\frac{x^4}{64}.}$$