===== 1.5.3. Производная обратной функции: $(\mathrm{arccos}\,x)'$ =====

==== Условие задачи ====
Пользуясь тождеством $\cos(\mathrm{arccos}\,x)=x$, вывести формулу производной $(\mathrm{arccos}\,x)'$.

==== Решение ====
Дифференцируем обе части тождества по $x$:
$$ -\sin(\mathrm{arccos}\,x)\cdot(\mathrm{arccos}\,x)' = 1. $$

Так как $\mathrm{arccos}\,x \in [0,\pi]$, на этом промежутке $\sin\ge 0$, поэтому
$$ \sin(\mathrm{arccos}\,x) = \sqrt{1-\cos^2(\mathrm{arccos}\,x)} = \sqrt{1-x^2}. $$

Подставляя:
$$ -\sqrt{1-x^2}\cdot(\mathrm{arccos}\,x)' = 1 \quad\Longrightarrow\quad (\mathrm{arccos}\,x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. $$

==== Ответ ====
$$ \boxed{(\mathrm{arccos}\,x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}} $$