===== 1.5.2. Производная обратной функции: $(\mathrm{arctg}\,x)'$ =====

==== Условие задачи ====
Пользуясь тождеством $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\,x)=x$, вывести формулу производной $(\mathrm{arctg}\,x)'$.

==== Решение ====
Дифференцируем обе части тождества $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\,x)=x$ по $x$, применяя цепное правило слева:
$$ \frac{1}{\cos^2(\mathrm{arctg}\,x)}\cdot(\mathrm{arctg}\,x)' = 1. $$

Обозначим $\varphi=\mathrm{arctg}\,x$, тогда $\mathrm{tg}\,\varphi = x$. Из тригонометрического тождества $\dfrac{1}{\cos^2\varphi}=1+\mathrm{tg}^2\varphi$ следует
$$ \frac{1}{\cos^2(\mathrm{arctg}\,x)} = 1+x^2. $$

Подставляя:
$$ (1+x^2)\cdot(\mathrm{arctg}\,x)' = 1 \quad\Longrightarrow\quad (\mathrm{arctg}\,x)' = \frac{1}{1+x^2}. $$

==== Ответ ====
$$ \boxed{(\mathrm{arctg}\,x)' = \dfrac{1}{1+x^2}} $$