===== 1.4.2. Производная функции $\dfrac12\ln\dfrac{1+x}{1-x}$ =====

==== Условие задачи ====
Найти производную функции
$$ f(x) = \frac12\ln\frac{1+x}{1-x} $$
(понадобится как первообразная в теме интегралов).

==== Решение ====
Запишем $f(x) = \dfrac12\bigl[\ln(1+x)-\ln(1-x)\bigr]$.

$$ f'(x) = \frac12\left[\frac{1}{1+x} - \frac{-1}{1-x}\right] = \frac12\left[\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right] = \frac12\cdot\frac{(1-x)+(1+x)}{(1+x)(1-x)} = \frac12\cdot\frac{2}{1-x^2}. $$

$$ f'(x) = \frac{1}{1-x^2}. $$

Таким образом, $f(x)$ — первообразная для $\dfrac{1}{1-x^2}$.

==== Ответ ====
$$ \boxed{f'(x) = \dfrac{1}{1-x^2}} $$